A B C 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知…——2020 高考数学第 17 题答案解析

【答案】① $A = \frac { \pi } { 3 }$ ；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系， $\cos ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } + A \right) + \cos A = \frac { 5 } { 4 }$ 可化为$1 - \cos ^ { 2 } A + \cos A = { \frac { 5 } { 4 } }$ ，即可解出；

（2）根据余弦定理可得 $b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } = b c$ ，将 $b - c = { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } a$ 代入可找到 $^ { a , b , c }$ 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出

【详解】（1）因为 $\cos ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } + A \right) + \cos A = \frac { 5 } { 4 }$ ，所以 $\sin ^ { 2 } A + \cos A = { \frac { 5 } { 4 } }$

即 $1 - \cos ^ { 2 } A + \cos A = { \frac { 5 } { 4 } }$

解得 $\cos A = { \frac { 1 } { 2 } }$ ，又 $0 < A < \pi$

所以 $A = \frac { \pi } { 3 }$ ●

（2）因为 $A = \frac { \pi } { 3 }$ ，所以 $\cos A = { \frac { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { 2 b c } } = { \frac { 1 } { 2 } }$

即 $b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } = b c \textcircled { 1 }$

又 $b - c = { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } a$ ②， 将②代入①得， $b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 3 \big ( b - c \big ) ^ { 2 } = b c$

即 $2 b ^ { 2 } + 2 c ^ { 2 } - 5 b c = 0$ ，而 $b > c$ ，解得 $b = 2 c$

所以 $a = \sqrt { 3 } c$

故 $b ^ { 2 } = a ^ { 2 } + c ^ { 2 }$

即 $\triangle A B C$ 是直角三角形

【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题