2013_退役省自主命题 (2013·文)
19．（本小题满分 12 分）
如图，直四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B / / C D, A D \perp A B, A B=2, A D=\sqrt{2}$， $A A_{1}=3, \mathrm{E}$ 为 CD 上一点，$D E=1, E C=3$
（1）证明： $\mathrm{BE} \perp$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$；
（2）求点 $B_{1}$ 到平面 $E A_{1} C_{1}$ 的距离。
（2）$\frac{\sqrt{10}}{5}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（2）$\frac{\sqrt{10}}{5}$
【解析】（1）在直角梯形 ABCD 中，先用勾股定理的逆定理计算并证明边的垂直关系，再用线面垂直的判定证明结果成立。
$\because B E^{2}=1^{2}+(\sqrt{2})^{2}=3, B C^{2}=(\sqrt{2})^{2}+(3-1)^{2}=6, \because E C=3 \therefore E C^{2}=B E^{2}+B C^{2}$，
$\therefore B E \perp B C$，又 $\because B E \perp B B_{1}, B B_{1} \cap B C=B, \therefore B E \perp$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$．
> （2）分别在直角三角形 $A A_{1} E, E C C_{1}, A_{1} D_{1} C_{1}$ 中得
$A_{1} E=2 \sqrt{3}, \quad E C_{1}=A_{1} C_{1}=3 \sqrt{2}, \therefore S_{\triangle A, E C}=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times \sqrt{15}=\sqrt{45}, \quad S_{\triangle A, B C_{1}}=\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{2}=\sqrt{2}$，
$\because V_{B_{1}-A_{1} E C_{1}}=V_{E-A_{1} B_{1} C_{1}} \therefore \sqrt{45} h=\sqrt{2} \times 3, \therefore h=\frac{\sqrt{10}}{5}$ 即所求怔离为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$．
点到平面的距离在不能直接作出垂线的情况下，一般都是由等体积转化的方法解决的，本题也不例外。其中要注意已知条件下底面积和高的计算。
【考点定位】该题主要考查空间平行关系和垂直关系的概念、定理、点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、逻辑思维能力和计算能力。