（10分）设 A B C 的内角 A, B, C 所对的边…——2008 高考数学第 17 题答案解析

【考点】GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理．
【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，
（I）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中 $a \cos B-b \cos A=\frac{3}{5} c$ ，进行转化得到 $\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{B}=4 \cos \mathrm{~A} \sin \mathrm{~B}$ ，再利用弦化切的方法即可求 $\frac{\tan \mathrm{A}}{\tan \mathrm{B}}$ 的值．
（II）由（I）的结论，结合角A，B，C为 $\triangle A B C$ 的内角，我们易得 $\tan A=4 \tan B >0$ ，则 $\tan (A-B)$ 可化为 $\frac{3}{\cot B+4 \tan B}$ ，再结合基本不等式即可得到 $\tan ~(A$ －B）的最大值．

【解答】解：（ I ）在 $\triangle A B C$ 中，$a \cos B-b \cos A=\frac{3}{5} c$ ，
由正弦定理得
$\sin A \cos B-\sin B \cos A=\frac{3}{5} \sin C=\frac{3}{5} \sin (A+B)=\frac{3}{5} \sin A \cos B+\frac{3}{5} \cos A \sin B$
即 $\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{B}=4 \cos \mathrm{~A} \sin \mathrm{~B}$ ，
则 $\frac{\tan \mathrm{A}}{\tan \mathrm{B}}=4$ ；
（II）由 $\frac{\tan \mathrm{A}}{\tan \mathrm{B}}=4$ 得
$\tan \mathrm{A}=4 \tan \mathrm{~B}>0$
$\tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A \tan B}=\frac{3 \tan B}{1+4 \tan ^{2} B}=\frac{3}{\cot B+4 \tan B} \leqslant \frac{3}{2 \sqrt{\cot B \cdot 4 \tan B}}=\frac{3}{4}$
当且仅当 $4 \tan B=\cot B, \tan B=\frac{1}{2}, \tan A=2$ 时，等号成立，
故当 $\tan \mathrm{A}=2, \quad \tan \mathrm{~B}=\frac{1}{2}$ 时，
$\tan (A-B)$ 的最大值为 $\frac{3}{4}$ ．
【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式。