19．（12分）如图，直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A C=B C, A A_{1}=A B, D$ 为 $B B_{1}$ 的中点 ，$E$ 为 $A B_{1}$ 上的一点，$A E=3 E B_{1}$ ．
（I）证明：$D E$ 为异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 的公垂线；
（II）设异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 的夹角为 $45^{\circ}$ ，求二面角 $A_{1}-A C_{1}-B_{1}$ 的大小。
（12分）如图，直三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1…——2010 高考数学第 19 题答案解析
2010_旧全国 II 卷 (2010·文)
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【考点】LM：异面直线及其所成的角； LQ ：平面与平面之间的位置关系．
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】①欲证 $D E$ 为异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 的公垂线，即证 $D E$ 与异面直线 $A B_{1}$ 与 $C$ D垂直相交即可；
②将 $A B_{1}$ 平移到 $D G$ ，故 $\angle C D G$ 为异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 的夹角，作 $H K \perp A C_{1}, K$ 为垂足，连接 $B_{1} K$ ，由三垂线定理，得 $B_{1} K \perp A C_{1}$ ，因此 $\angle B_{1} K H$ 为二面角 $A_{1}-A C_{1}-B_{1}$的平面角，在三角形 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{KH}$ 中求出此角即可。
【解答】解：（1）连接 $A_{1} B$ ，记 $A_{1} B$ 与 $A B_{1}$ 的交点为 $F$ ．
因为面 $A A_{1} B B_{1}$ 为正方形，故 $A_{1} B \perp A B_{1}$ ，且 $A F=F B_{1}$ ，
又 $A E=3 E B_{1}$ ，所以 $F E=E B_{1}$ ，
又 D 为 $\mathrm{BB}_{1}$ 的中点，
故 $D E \| B F, D E \perp A B_{1}$ ．
作 $C G \perp A B$ ，$G$ 为垂足，由 $A C=B C$ 知，$G$ 为 $A B$ 中点。
又由底面 $A B C \perp$ 面 $A A_{1} B_{1} B$ 。连接 $D G$ ，则 $D G \| A B_{1}$ ，
故 $D E \perp D G$ ，由三垂线定理，得 $D E \perp C D$ ．
所以 DE 为异面直线 $\mathrm{AB}_{1}$ 与 CD 的公垂线。
（2）因为 $D G \| A B_{1}$ ，故 $\angle C D G$ 为异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 的夹角，$\angle C D G=45^{\circ}$
设 $\mathrm{AB}=2$ ，则 $\mathrm{AB}_{1}=2 \sqrt{2}, \mathrm{DG}=\sqrt{2}, \mathrm{CG}=\sqrt{2}, \mathrm{AC}=\sqrt{3}$ 。
作 $B_{1} H \perp A_{1} C_{1}, H$ 为垂足，因为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} \perp$ 面 $A A_{1} C C_{1}$ ，故 $B_{1} H \perp$ 面 $A A_{1} C_{1} C$ ．又作 $H K \perp A C_{1}, K$ 为垂足，连接 $B_{1} K$ ，由三垂线定理，得 $B_{1} K \perp A C_{1}$ ，因此 $\angle B_{1} K H$ 为二面角 $A_{1}-A C_{1}-B_{1}$ 的平面角．
$\mathrm{B}_{1} \mathrm{H}=\frac{2 \sqrt{6}}{3}, \quad \mathrm{C}_{1} \mathrm{H}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \mathrm{AC}_{1}=\sqrt{7}, \quad \mathrm{HK}=\frac{2 \sqrt{21}}{21}$
$\tan \angle \mathrm{B}_{1} \mathrm{KH}=\sqrt{14}$,
∴ 二面角 $\mathrm{A}_{1}-\mathrm{AC}_{1}-\mathrm{B}_{1}$ 的大小为 $\arctan \sqrt{14}$ ．
【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力。 三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的＂形＂到＂形＂的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．
✅ 来源：2010年 · 全国 · 2010_旧全国 II 卷 (2010·文) · 第 19 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验