（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆…——2011 高考数学第 16 题答案解析

【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LG：球的体积和表面积．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值。

【解答】解：不妨设球的半径为： 4 ；球的表面积为： $64 \pi$ ，圆锥的底面积为： 1 $2 \pi$ ，圆锥的底面半径为： $2 \sqrt{3}$ ；

由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形

由此可以求得球心到圆锥底面的距离是 $\sqrt{4^{2}-(2 \sqrt{3})^{2}}=2$ ，
所以圆锥体积较小者的高为： $4-2=2$ ，同理可得圆锥体积较大者的高为： $4+2=6$ ；

所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：$\frac{1}{3}$ ．
故答案为：$\frac{1}{3}$
【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．