2011 全国高考数学 2011_老新课标卷 (2011·文) 第 16 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

16．（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同

一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 $\frac{3}{16}$ ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 $\_\_\_\_$ $\underline{1}$ ．

Accepted Answer

$\frac{1}{3}$

【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LG：球的体积和表面积． 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值。 【解答】解：不妨设球的半径为： 4 ；球的表面积为： $64 \pi$ ，圆锥的底面积为： 1 $2 \pi$ ，圆锥的底面半径为： $2 \sqrt{3}$ ； 由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形 由此可以求得球心到圆锥底面的距离是 $\sqrt{4^{2}-(2 \sqrt{3})^{2}}=2$ ， 所以圆锥体积较小者的高为： $4-2=2$ ，同理可得圆锥体积较大者的高为： $4+2=6$ ； 所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：$\frac{1}{3}$ ． 故答案为：$\frac{1}{3}$ 【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．

2011 高考数学第 16 题答案解析

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