设函数 f ( x ) = sin x + cos x (…——2021 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1）π；（2） $1 + { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$

【解析】

【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得 $y = 1 - \sin 2 x$ ，再由三角函数最小正周期公式即可得解；

> ②由三角恒等变换可得 $y = \sin ( 2 x - { \frac { \pi } { 4 } } ) + { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$ ，再由三角函数的图象与性质即可得解.

【详解】①由辅助角公式得 $f ( x ) = \sin x + \cos x = { \sqrt { 2 } } \sin ( x + { \frac { \pi } { 4 } } )$

$$ y = \left[ f \left( x + { \frac { \pi } { 2 } } \right) \right] ^ { 2 } = \left[ { \sqrt { 2 } } \sin \left( x + { \frac { 3 \pi } { 4 } } \right) \right] ^ { 2 } = 2 \sin ^ { 2 } \left( x + { \frac { 3 \pi } { 4 } } \right) = 1 - \cos \left( 2 x + { \frac { 3 \pi } { 2 } } \right) = 1 - \sin 2 x \ . $$

所以该函数的最小正周期 $T = { \frac { 2 \pi } { 2 } } = \pi$

> ② 由题意， $y = f \left( x \right) f \left( x - { \frac { \pi } { 4 } } \right) = { \sqrt { 2 } } \sin \left( x + { \frac { \pi } { 4 } } \right) \cdot { \sqrt { 2 } } \sin x = 2 \sin \left( x + { \frac { \pi } { 4 } } \right) \sin x$

$$ = 2 \sin x \cdot ( { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \sin x + { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \cos x ) = { \sqrt { 2 } } \sin ^ { 2 } x + { \sqrt { 2 } } \sin x \cos x $$

$$ = { \sqrt { 2 } } \cdot { \frac { 1 - \cos 2 x } { 2 } } + { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \sin 2 x = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \sin 2 x - { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \cos 2 x + { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } = \sin \left( 2 x - { \frac { \pi } { 4 } } \right) + { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } , $$

由 $x \in \left[ 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right]$ 可得 $2 x - { \frac { \pi } { 4 } } \in \left[ - { \frac { \pi } { 4 } } , { \frac { 3 \pi } { 4 } } \right]$

所以当 $2 x - { \frac { \pi } { 4 } } = { \frac { \pi } { 2 } }$ 即 $x = \frac { 3 \pi } { 8 }$ 时，函数取最大值 $1 + { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$