（2012•天津）在 ABC 中， A =90^ , AB…——2012 高考数学第 8 题答案解析

【解答】
（2012•天津）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\angle \mathrm{A}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=1, \mathrm{AC}=2$ ．设点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=(1-\lambda) \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \lambda \in \mathrm{R}$ ．
若 $\overrightarrow{\mathrm{BQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CP}}=2$ ，则 $\lambda=()$
A．$\frac{1}{3}$
B．$\frac{2}{3}$
C．$\frac{4}{3}$
D． 2

考点 平面向量数量积的运算。
：
专题 计算题。
分析
由题意可得 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=0$ ，根据 $\overrightarrow{\mathrm{BQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CP}}=-(1-\lambda) \overrightarrow{\mathrm{AC}}^{2}-\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}^{2}=(\lambda-1) 4-\lambda \times 1=2$ ，求得 $\lambda$ 的值． ：
解答
解：由题意可得 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=0$ ，
由于 $\overrightarrow{\mathrm{BQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CP}}=(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=[(1-\lambda) \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}] \cdot[\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}]$

$=-(1-\lambda) \overrightarrow{\mathrm{AC}}^{2}-\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}^{2}=(\lambda-1) 4-\lambda \times 1=2$ ，
解得 $\lambda=2$ ，
故选D．
点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算 ：，属于中档题。