2019_新课标III卷
19.图1是由矩形ADEB， $\mathrm { R t } \triangle A B C$ 和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1， $B E { = } B F { = } 2$ $\angle F B C { = } 6 0 ^ { \circ }$ ，将其沿AB，BC折起使得 $B E { \stackrel { \vartriangle } { \vec { \vartriangle } } } B F$ 重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面 $A B C \bot$ 平面BCGE;
（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.
图1
图2
(1) $见详解； $; (2) $3 0 ^ { \circ }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】(1)见详解； $( 2 ) 3 0 ^ { \circ }$
【解析】
【分析】
(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED， $R t { \triangle } A B C$ 和菱形BFGC内部的夹角，所以$A D / / B E$ ，BF//CG依然成立，又因E和F粘在一起，所以得证.因为AB是平面BCGE垂线，所以易证.(2)在图中找到 $B { - } C G - A$ 对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑B 关于GC的垂线，发现此垂足与A 的连线也垂直于CG.按照此思路即证.【详解】(1)证： $\because A D / / B E$ $B F / / C G$ ，又因为E和F粘在一起.
∴ AD//CG，A，C，G，D四点共面.
又∵ $A B \perp B E , A B \perp B C$
$\therefore A B \bot$ 平面BCGE，∵AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCGE，得证.
(2)过B作 $B H \bot G C$ 延长线于H，连结AH，因为AB⊥平面BCGE，所以 $A B \bot G C$ 而又 $B H \bot G C$ ，故GC⊥平面HAB，所以 $A H \bot G C$ .又因为 $B H \bot G C$ 所以∠BHA是二面角B-CG-A的平面角，而在 $\triangle B H C$ 中 $\angle B H C = 9 0 ^ { \circ }$ ，又因为 $\angle F B C = 6 0 ^ { \circ }$ 故$\angle B C H = 6 0 ^ { \circ }$ ，所以 $B H { = } B C \sin 6 0 ^ { \circ } = \sqrt { 3 }$
而在 $\triangle A B H$ 中 $\angle A B H = 9 0 ^ { \circ }$ $\angle B H A = \arctan \frac { A B } { B H } = \arctan \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } = 3 0 ^ { \circ }$ ，即二面角B-CG-A的度数为30°.
【点睛】很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的。再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法。最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力。