（5分）若a， b R, a b>0，则 a^ 4 +4…——2017 高考数学第 13 题答案解析

【解答】
（5分）（2017•天津）若 $a, b \in R, a b>0$ ，则 $\frac{a^{4}+4 b^{4}+1}{a b}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ 4

**方法一**：两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么。

**方法二**：将 $\frac{1}{\mathrm{ab}}$ 拆成 $\frac{1}{2 \mathrm{ab}}+\frac{1}{2 \mathrm{ab}}$ ，利用柯西不等式求出最小值．
【解答】解：【解法一】 $a, b \in R, a b>0$ ，
$\therefore \frac{a^{4}+4 b^{4}+1}{a b} \geqslant \frac{2 \sqrt{a^{4} \cdot 4 b^{4}+1}}{a b}$
$=\frac{4 a^{2} b^{2}+1}{a b}$
$=4 a b+\frac{1}{a b} \geqslant 2 \sqrt{4 a b \cdot \frac{1}{a b}}=4$,
当且仅当 $\left\{\begin{array}{l}a^{4}=4 b^{4} \\ 4 a b=\frac{1}{a b}\end{array}\right.$ ，
即 $\left\{\begin{array}{l}a^{2}=2 b^{2} \\ a^{2} b^{2}=\frac{1}{4}\end{array}\right.$ ，
即 $a=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}, b=\frac{1}{\sqrt[4]{8}}$ 或 $a=-\frac{1}{\sqrt[4]{2}}, b=-\frac{1}{\sqrt[4]{8}}$ 时取＂$=$＂；
∴ 上式的最小值为 4 ．
【解法二】 $a, b \in R, a b>0$ ，
$\therefore \frac{a^{4}+4 b^{4}+1}{a b}=\frac{a^{3}}{b}+\frac{4 b^{3}}{a}+\frac{1}{2 a b}+\frac{1}{2 a b} \geqslant 4 \sqrt[4]{\frac{a^{3}}{b} \cdot \frac{4 b^{3}}{a} \cdot \frac{1}{2 a b} \cdot \frac{1}{2 a b}}=4$,
当且仅当 $\left\{\begin{array}{l}a^{4}=4 b^{4} \\ 4 a b=\frac{1}{a b}\end{array}\right.$ ，

即 $\left\{\begin{array}{l}a^{2}=2 b^{2} \\ a^{2} b^{2}=\frac{1}{4}\end{array}\right.$ ，
即 $a=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}, b=\frac{1}{\sqrt[4]{8}}$ 或 $a=-\frac{1}{\sqrt[4]{2}}, b=-\frac{1}{\sqrt[4]{8}}$ 时取＂$=$＂；
∴ 上式的最小值为 4 ．
故答案为： 4 ．
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．