（5分）设等差数列 a _ n 的前n项和为 S _ n，…——2013 高考数学第 7 题答案解析

【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和

【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列

【分析】由 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$ 与 $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } }$ 的关系可求得 $\mathsf { a } _ { \mathsf { m } + 1 }$ 与 $\mathsf { a } _ { \mathsf { m } }$ ，进而得到公差d，由前n项和公式及 $\mathsf { S } _ { \mathsf { m } }$ $\scriptstyle = 0 ^ { \overline { { \Pi } } }$ 求得 $\mathsf { a } _ { 1 }$ ，再由通项公式及 $\mathsf { a } _ { \mathsf { m } } \mathsf { = } 2$ 可得m值

【解答】解： $a _ { m } = S _ { m } \ - \ S _ { m - 1 } = 2 , a _ { m + 1 } = S _ { m + 1 } \ - \ S _ { m } = 3$

所以公差 $\mathsf { d } { = } \mathsf { a } _ { \mathsf { m } + 1 } - \mathsf { a } _ { \mathsf { m } } { = } 1$

$$ S _ { \mathfrak { m } } { = } \frac { \mathfrak { m } ^ { \left( \mathtt { a } _ { 1 } + \mathtt { a } _ { \mathfrak { m } } \right) } } { 2 } { = } 0 $$

$\mathsf { m } - 1 { > } 0 , \mathsf { m } { > } 1$ ，因此m不能为0，

得 $\mathtt { a } _ { 1 } = - 2$

所以 $a _ { \mathsf { m } } { = } - \ 2 ^ { + } \ \left( \mathsf { m } - 1 \right) \ { \bullet } 1 { = } 2$ ，解得 $\cdot \mathsf { m } { = } 5$

另解：等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和为 $S _ { \mathfrak { n } }$ ，即有数列 $\{ \frac { S _ { \mathrm { n } } } { \mathrm { n } } \}$ 成等差数列，

则 $\frac { \mathbb { S } _ { \mathtt { m } - 1 } } { \mathtt { m } - 1 } , ~ \frac { \mathbb { S } _ { \mathtt { m } } } { \mathtt { m } } , ~ \frac { \mathbb { S } _ { \mathtt { m } + 1 } } { \mathtt { m } + 1 }$ 成等差数列，

可得 $2 \bullet \frac { \mathbb { S } _ { \mathtt { m } } } { \mathtt { m } } = \frac { \mathbb { S } _ { \mathtt { m } - 1 } } { \mathtt { m } - 1 } + \frac { \mathbb { S } _ { \mathtt { m } + 1 } } { \mathtt { m } + 1 }$ 1

即有 $0 = \frac { - 2 } { \pi - 1 } + \frac { 3 } { \pi + 1 }$

解得m=5

又一解：由等差数列的求和公式可得 $\frac { 1 } { 2 } ( \mathsf { m } - 1 ) ( \mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { + } \mathsf { a } _ { \mathsf { m } - 1 } ) = - 2$
$\frac { 1 } { 2 } \mathsf { m } ( \mathsf { a } _ { 1 } { + } \mathsf { a } _ { \mathsf { m } } ) = 0 , \frac { 1 } { 2 } ( \mathsf { m } { + } 1 ) ( \mathsf { a } _ { 1 } { + } \mathsf { a } _ { \mathsf { m } { + } 1 } ) = 3$
可得 $a _ { 1 } = \textrm { - } a _ { \mathrm { m } } , \quad - ~ 2 \mathsf { a } _ { \mathrm { m } } + \mathsf { a } _ { \mathrm { m } + 1 } + \mathsf { a } _ { \mathrm { m } + 1 } = \frac { 6 } { \Pi ^ { + 1 } } + \frac { - 4 } { \Pi ^ { - 1 } } = 0 ,$
解得m=5
故选：C

【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$ 与 $S _ { \mathfrak { n } }$ 的关系，考查学生的计算能力