2021_新课标II卷
12.
设正整数 $n = a _ { 0 } \cdot 2 ^ { 0 } + a _ { 1 } \cdot 2 + \cdots + a _ { k - 1 } \cdot 2 ^ { k - 1 } + a _ { k } \cdot 2 ^ { k }$ ，其中 $a _ { i } \in \left\{ 0 , 1 \right\}$ ，记 ${ \boldsymbol { \omega } } { \big ( } n { \big ) } = a _ { 0 } + a _ { 1 } + \cdots + a _ { k }$ ．则（）
ACD
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用w n 的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】对于A选项， $\begin{array} { r } { \omega \big ( n \big ) = a _ { 0 } + a _ { 1 } + \dots + a _ { k } , 2 n = a _ { 0 } \cdot 2 ^ { 1 } + a _ { 1 } \cdot 2 ^ { 2 } + \dots + a _ { k - 1 } \cdot 2 ^ { k } + a _ { k } \cdot 2 ^ { k + 1 } } \end{array}$
所以， $\omega { \bigl ( } 2 n { \bigr ) } = a _ { 0 } + a _ { 1 } + \cdots + a _ { k } = \omega { \bigl ( } n { \bigr ) }$ ，A选项正确；
对于B选项，取n = 2， $2 n + 3 = 7 = 1 \cdot 2 ^ { 0 } + 1 \cdot 2 ^ { 1 } + 1 \cdot 2 ^ { 2 } , \therefore \omega \big ( 7 \big ) = 3$
而 $2 = 0 \cdot 2 ^ { 0 } + 1 \cdot 2 ^ { 1 }$ ，则 $\omega ( 2 ) = 1$ ，即 $\omega { \left( 7 \right) } \neq \omega { \left( 2 \right) } + 1$ ，B选项错误；
对于C选项， $8 n + 5 = a _ { 0 } \cdot 2 ^ { 3 } + a _ { 1 } \cdot 2 ^ { 4 } + \cdots + a _ { k } \cdot 2 ^ { k + 3 } + 5 = 1 \cdot 2 ^ { 0 } + 1 \cdot 2 ^ { 2 } + a _ { 0 } \cdot 2 ^ { 3 } + a _ { 1 } \cdot 2 ^ { 4 } + \cdots + a _ { k } \cdot 2 ^ { k + 3 }$
所以， $\omega \big ( 8 n + 5 \big ) = 2 + a _ { 0 } + a _ { 1 } + \cdots + a _ { k }$
$$ 4 n + 3 = a _ { 0 } \cdot 2 ^ { 2 } + a _ { 1 } \cdot 2 ^ { 3 } + \cdots + a _ { k } \cdot 2 ^ { k + 2 } + 3 = 1 \cdot 2 ^ { 0 } + 1 \cdot 2 ^ { 1 } + a _ { 0 } \cdot 2 ^ { 2 } + a _ { 1 } \cdot 2 ^ { 3 } + \cdots + a _ { k } \cdot 2 ^ { k + 2 } , $$
所以， $\omega \big ( 4 n + 3 \big ) = 2 + a _ { 0 } + a _ { 1 } + \cdots + a _ { k }$ ，因此， $\omega \big ( 8 n + 5 \big ) = \omega \big ( 4 n + 3 \big )$ ，C选项正确；
对于D选项， $2 ^ { n } - 1 = 2 ^ { 0 } + 2 ^ { 1 } + \cdots + 2 ^ { n - 1 }$ ，故 $\omega { \left( 2 ^ { n } - 1 \right) } = n$ ，D选项正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分