（14 分）如图，在三棱锥 A﹣BCD 中， A B A…——2017 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（14 分）（2017•江苏）如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．

求证：（1）EF∥平面 ABC；

> ② ${ \mathsf { A D \bot A C . } }$

【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；

（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得 $\mathsf { F G } / / \mathsf { B C } .$ ，则 $\mathsf { E G } / / \mathsf { A C }$ ，利用线面垂直的性质定理可知 $\mathsf { F G \bot A D }$ ，结合线面垂直的判定定理可知 $\mathsf { A D \perp }$ 平面EFG，从而可得结论

【解答】证明：①因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以 $\textsf { A B / / E F }$

又因为 $E F \subsetneq$ 平面 ABC，AB⊆平面 ABC，

所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；

> ②在线段CD上取点G，连结FG、EG使得 $\mathsf { F G } / / \mathsf { B C }$ ，则 $\mathsf { E G } / / \mathsf { A C }$

因为 $B C \bot B D$ ，所以 $\mathsf { F G } / / \mathsf { B C }$

又因为平面 $\mathsf { A B D \perp }$ 平面 BCD，

所以 $\mathsf { F G \bot }$ 平面ABD，所以 $\mathsf { F G \bot A D }$

又因为AD⊥EF，且 $E F \cap F G { = } F$

所以 $\mathsf { A D \perp }$ 平面 EFG，所以 $\mathsf { A D \bot E G }$

故 ${ \mathsf { A D \bot A C } }$

【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题