函数 f ( x ) = x ^ 3 + a x + 2…——2023 高考数学第 8 题答案解析

【解析】【分析】写出 $f ^ { \prime } ( x ) = 3 x ^ { 2 } + a$ ，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.【详解】 $f ( x ) = x ^ { 3 } + a x + 2$ ，则 $f ^ { \prime } ( x ) = 3 x ^ { 2 } + a$ 若 f(x)要存在3 个零点，则 f(x)要存在极大值和极小值，则 $a { < } 0$ 令 $f ^ { \prime } ( x ) = 3 x ^ { 2 } + a = 0$ ，解得 $x = - { \sqrt { \frac { - a } { 3 } } }$ 或 $\sqrt { \frac { - a } { 3 } }$ 且当 $x \in \left( - \infty , - \sqrt { \frac { - a } { 3 } } \right) \bigcup \left( \sqrt { \frac { - a } { 3 } } , + \infty \right)$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ 当 $x \in \left( - { \sqrt { \frac { - a } { 3 } } } , { \sqrt { \frac { - a } { 3 } } } \right) , \ f ^ { \prime } ( x ) < 0$ 故 f(x)的极大值为 $f \left( - { \sqrt { \frac { - a } { 3 } } } \right)$ ，极小值为 $f \left( { \sqrt { \frac { - a } { 3 } } } \right)$ 若 f(x)要存在3 个零点，则 $\left\{ \begin{array} { l l } { f \left( - \sqrt { \displaystyle \frac { - a } { 3 } } \right) > 0 } \\ { f \left( \sqrt { \displaystyle \frac { - a } { 3 } } \right) < 0 } \end{array} \right.$ ，即 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { a } { 3 } \sqrt { \frac { - a } { 3 } } - a \sqrt { \frac { - a } { 3 } } + 2 > 0 } \\ { \displaystyle \frac { - a } { 3 } \sqrt { \frac { - a } { 3 } } + a \sqrt { \frac { - a } { 3 } } + 2 < 0 } \end{array} \right.$ ，解得 $a < - 3$ 故选：B.