（12）若 x [0,+∞)，则下列不等式恒成立的是——2012 高考数学第 12 题答案解析

答案：C
解析：对于 $e^{x}$ 与 $1+x+x^{2}$ ，当 $x=5$ 时，$e^{x}>32$ ，而 $1+x+x^{2}=31$ ，所以 A 选项不正确；对于 $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ 与 $1-\frac{1}{2} x+\frac{1}{4} x^{2}$ ，当 $x=\frac{1}{4}$ 时，$\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}, 1-\frac{1}{2} x+\frac{1}{4} x^{2}=\frac{57}{64}<\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，所以 B 选项不正确；令 $f(x)=\cos x+\frac{1}{2} x^{2}-1$ ，则 $f^{\prime}(x)=x-\sin x \geq 0$ ，对 $x \in[0,+\infty)$ 恒成立，$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上为增函数，所以 $f(x)$ 的最小值为 $f(0)=0$ ，所以 $f(x) \geq 0$ ， $\cos x \geq 1-\frac{1}{2} x^{2}$ ，故 C 正确；令 $g(x)=\ln (1+x)-x+\frac{1}{8} x^{2}$ ，则 $g^{\prime}(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{4} x-1$ ，令 $g^{\prime}(x)=0$ ，得 $x=0$ 或 $x=3$ 。当 $x \in(0,3)$ 时，$g^{\prime}(x)<0$ ，当 $x \in(3,+\infty)$ 时，$g^{\prime}(x)>0$ ． $g(x)$ 在 $x=3$ 时取得最小值 $g(3)=\ln 4-3+\frac{9}{8}<0$ ，所以 D 不正确。

考点定位：本题考查不等式恒成立问题，意在考查考生用构造函数的方法，利用导数求最值来比较大小的能力。

第 II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为