（5分）（2009•陕西）若 3 s i n a + c…——2009 高考数学第 5 题答案解析

【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用

【专题】计算题

【分析】首先考虑由 $3 \mathrm { s i n } \mathsf { a } \mathsf { + c o s } \mathsf { a } \mathsf { = } 0 .$ 求 $\frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \alpha + \sin 2 \alpha }$ 的值，可以联想到解sinα，cosα的值，在根据半角公式代入直接求解，即得到答案

【解答】解析：由 $3 \sin \alpha + \cos \alpha { = } 0 { \Rightarrow } \cos \alpha \neq 0$ 且 $\tan \alpha = - \frac { 1 } { 3 }$

所以 $\frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \alpha + \sin 2 \alpha } = \frac { \cos ^ { 2 } \alpha + \sin ^ { 2 } \alpha } { \cos ^ { 2 } \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha } = \frac { 1 + \tan ^ { 2 } \alpha } { 1 + 2 \tan ^ { 4 } } = \frac { 1 0 } { 3 }$

故选A．

【点评】此题主要考查同角三角函数基本关系的应用，在三角函数的学习中要注重三角函数一系列性质的记忆和理解，在应用中非常广泛