2017_江苏卷
21．（15分）如图所示，两条相距d的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻。质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域 MNPQ的磁感应强度大小为 B、方向竖直向下。当该磁场区域以速度 $\mathbf { v } _ { 0 }$ 匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v。导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求：
①MN 刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小I；
（2）MN 刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a；
（3）PQ 刚要离开金属杆时，感应电流的功率P。
见解析
（1）当磁场边界 $MN$ 刚扫过金属杆时，金属杆相对于磁场的切割速度大小为 $v_0$。
根据法拉第电磁感应定律，此时产生的感应电动势为：
$$E = Bdv_0$$
由闭合电路欧姆定律可知，杆中的感应电流大小为：
$$I = \frac{E}{R} = \frac{Bdv_0}{R}$$
（2）此时金属杆受到的安培力大小为：
$$F = BId = B \cdot \frac{Bdv_0}{R} \cdot d = \frac{B^2d^2v_0}{R}$$
根据牛顿第二定律 $F=ma$，可得金属杆的加速度大小为：
$$a = \frac{F}{m} = \frac{B^2d^2v_0}{mR}$$
（3）当磁场边界 $PQ$ 刚要离开金属杆时，金属杆的速度已变为 $v$（方向向右），而磁场区域仍以速度 $v_0$ 向右运动。
此时金属杆相对于磁场的切割速度大小为两者的相对速度：
$$v_{rel} = v_0 - v$$
此时的感应电动势为：
$$E' = Bd(v_0 - v)$$
感应电流的功率即为电阻 $R$ 上的热功率：
$$P = \frac{E'^2}{R} = \frac{[Bd(v_0 - v)]^2}{R} = \frac{B^2d^2(v_0 - v)^2}{R}$$