[选修4-5：不等式选讲] 已知a，b，c为正数，且满足a…——2019 高考数学第 23 题答案解析

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）利用 $a b c = 1$ 将所证不等式可变为证明： $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } \geq b c + a c + a b$ ，利用基本不等式可证得 $2 \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } \right) \geq 2 a b + 2 b c + 2 a c$ ，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得$\left( a + b \right) ^ { 3 } + \left( b + c \right) ^ { 3 } + \left( c + a \right) ^ { 3 } \geq 3 { \bigl ( } a + b { \bigr ) } { \bigl ( } b + c { \bigr ) } { \bigl ( } c + a { \bigr ) }$ ，再次利用基本不等式可将式转化为 $\left( a + b \right) ^ { 3 } + \left( b + c \right) ^ { 3 } + \left( c + a \right) ^ { 3 } \geq 2 4 { \sqrt { \left( a b c \right) ^ { 2 } } }$ ，在取等条件一致的情况下，可得结论

【详解】① $\because a b c = 1 \therefore { \frac { 1 } { a } } + { \frac { 1 } { b } } + { \frac { 1 } { c } } = \left( { \frac { 1 } { a } } + { \frac { 1 } { b } } + { \frac { 1 } { c } } \right) \cdot a b c = b c + a c + a b$ $\because 2 { \Big ( } a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } { \Big ) } = { \Big ( } a ^ { 2 } + b ^ { 2 } { \Big ) } + { \Big ( } b ^ { 2 } + c ^ { 2 } { \Big ) } + { \Big ( } c ^ { 2 } + a ^ { 2 } { \Big ) } \geq 2 a b + 2 b c + 2 a c$ 当且仅当 $a = b = c$ 时取等号$\therefore 2 \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } \right) \geq 2 { \left( { \frac { 1 } { a } } + { \frac { 1 } { b } } + { \frac { 1 } { c } } \right) }$ ，即： $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } \geq \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { c }$

> ② $\because ( a + b ) ^ { 3 } + ( b + c ) ^ { 3 } + ( c + a ) ^ { 3 } \geq 3 { \bigl ( } a + b { \bigr ) } { \bigl ( } b + c { \bigr ) } { \bigl ( } c + a { \bigr ) }$ ，当且仅当 $a = b = c$ 时取等号

又 $a + b \geq 2 { \sqrt { a b } } \ , b + c \geq 2 { \sqrt { b c } } \ , a + c \geq 2 { \sqrt { a c } }$ (当且仅当 $a = b = c$ 时等号同时成立）

$$ \therefore ( a + b ) ^ { 3 } + ( b + c ) ^ { 3 } + ( c + a ) ^ { 3 } \geq 3 \times 2 { \sqrt { a b } } \times 2 { \sqrt { b c } } \times 2 { \sqrt { a c } } = 2 4 { \sqrt { ( a b c ) ^ { 2 } } } $$

又abc=1 ∴(a+b)³+(b+c)³+(c+a)³≥24

【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.