2020_新课标III卷
19.如图，在长方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中，点E F, 分别在棱 $D D _ { 1 } , B B _ { 1 } \bot$ ，且 $2 D E = E D _ { 1 }$ $B F = 2 F B _ { 1 }$
（1）证明：点 $C _ { 1 }$ 在平面AEF内；
（2）若 AB = 2 ， AD =1， $A A _ { 1 } = 3$ ，求二面角 $A - E F - A _ { 1 }$ 的正弦值
(1) 证明见解析; (2) $\frac { \sqrt { 4 2 } } { 7 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1）证明见解析；② $\frac { \sqrt { 4 2 } } { 7 }$
【解析】
【分析】
（1）连接 $C _ { 1 } E , \ C _ { 1 } F$ ，证明出四边形 $A E C _ { 1 } F$ 为平行四边形，进而可证得点 $C _ { 1 }$ 在平面$A E F$ 内；
（2）以点 $C _ { 1 }$ 为坐标原点， $C _ { 1 } D _ { 1 } , \ C _ { 1 } B _ { 1 } , \ C _ { 1 } C$ <sub>所在直线分别为</sub>x<sub>、</sub>y<sub>、</sub>z<sub>轴建立空间直角坐</sub>标系 $C _ { 1 } - x y z$ ，利用空间向量法可计算出二面角 $A - E F - A _ { 1 }$ 的余弦值，进而可求得二面角$A - E F - A _ { 1 }$ 的正弦值.
【详解】（1）在棱 $C C _ { 1 }$ 上取点G ，使得 $C _ { 1 } G = \frac { 1 } { 2 } C G$ ，连接 DG、 $F G \ , \ C _ { 1 } E \ , \ C _ { 1 } F$
在长方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中， $A D / / B C$ 且 $A D = B C$ $B B _ { 1 } / / C C _ { 1 }$ 且 $B B _ { 1 } = C C _ { 1 }$
$\because C _ { 1 } G = { \frac { 1 } { 2 } } C G$ $B F = 2 F B _ { 1 }$ ， \ $C G = \frac { 2 } { 3 } C C _ { 1 } = \frac { 2 } { 3 } B B _ { 1 } = B F$ 且 $C G = B F$
所以，四边形 BCGF 为平行四边形，则 $A F / / D G$ 且 $A F = D G$
同理可证四边形 $D E C _ { 1 } G$ 为平行四边形，\ $C _ { 1 } E / / D G$ 且 $C _ { 1 } E = D G$
$\therefore C _ { 1 } E / / A F$ 且 $C _ { 1 } E = A F$ ，则四边形 $A E C _ { 1 } F$ 为平行四边形，
因此，点 $C _ { 1 }$ 在平面 $A E F$ 内；
（2）以点 $C _ { 1 }$ 为坐标原点，C D<sub>1 1</sub>、 $C _ { 1 } B _ { 1 }$ $C _ { 1 } C$ <sub>所在直线分别为</sub>x<sub>、</sub>y<sub>、</sub>z<sub>轴建立如下图所示</sub>
的空间直角坐标系 $C _ { 1 } - x y z$
则A(2,1,3)、A1(2,1,0)、E(2,0,2)、F(0,1,1),
AE = (0,−1,−1), AF =(−2,0,−2), AE = (0,−1,2) , AF =(−2,0,1) ,
设平面 $A E F$ 的法向量为 $\overrightarrow { m } = \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } \right)$
由 $\left\{ { \stackrel { \longrightarrow } { m } } \cdot { \stackrel { \longrightarrow } { A } } = 0 \right.$ ，得 $\left\{ { - y _ { 1 } - z _ { 1 } = 0 \atop - 2 x _ { 1 } - 2 z _ { 1 } = 0 } \right.$ 取 $z _ { 1 } = - 1$ ，得 $x _ { 1 } = y _ { 1 } = 1$ ，则 $\stackrel { \longrightarrow } { m } = \left( 1 , 1 , - 1 \right)$
设平面 $A _ { 1 } E F$ 的法向量为 $\stackrel { } { n } = ( x _ { 2 } , y _ { 2 } , z _ { 2 } )$
由 $\{ { \stackrel { } { n } } \cdot { \overrightarrow { A _ { 1 } E } } = 0 $ ，得 $\left\{ { - y _ { 2 } + 2 z _ { 2 } = 0 \atop - 2 x _ { 2 } + z _ { 2 } = 0 } \right.$ ，取 $z _ { 2 } = 2$ ，得 $x _ { 2 } = 1$ $y _ { 2 } = 4$ ，则 $\vec { n } = \left( 1 , 4 , 2 \right)$
$$ \cos < \stackrel { } { m } , \stackrel { } { n } > = \frac { \stackrel { } { m } \cdot \stackrel { } { n } } { | \stackrel { } { m } | \cdot | \stackrel { } { n } | } = \frac { 3 } { \sqrt { 3 } \times \sqrt { 2 1 } } = \frac { \sqrt { 7 } } { 7 } , $$
设二面角 $A - E F - A _ { 1 }$ 的平面角为q，则 $\left| \cos \theta \right| = { \frac { \sqrt { 7 } } { 7 } }$ ， \ $\sin \theta = { \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } \theta } } = { \frac { \sqrt { 4 2 } } { 7 } }$
因此，二面角 $A - E F - A _ { 1 }$ 的正弦值为 $\frac { \sqrt { 4 2 } } { 7 }$
【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.