2011_退役省自主命题 (2011·文)
16．函数 $f(x)$ 的定义域为 A ，若 $x_{1}, x_{2} \in \mathrm{~A}$ ，且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ 时总有 $x_{1}=x_{2}$ ，则称 $f(x)$ 为单函数．例如 $f(x)=2 x+1(x \in R)$ 是单函数，下列命题：
①函数 $f(x)^{2}=x^{2}(x \in R)$ 是单函数；
②函数 $f(x)=2^{x}(x \in R)$ 是单函数，
③若 $f(x)$ 为单函数，$x_{1}, x_{2} \in A$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)$ ；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的编号）
②③④
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【解答】
（4分）（2011•四川）函数 $f(x)$ 的定义域为 $A$ ，若 $x_{1}, x_{2} \in A$ ，且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ 时总有 $x_{1}=x_{2}$ ，则称 $f(x)$ 为单函数．例如 $f(x)=2 x+1(x \in R)$ 是单函数，下列命题：
①函数 $f(x)=x^{2}(x \in R)$ 是单函数；
②函数 $f(x)=2^{x}(x \in R)$ 是单函数，
③若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为单函数， $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in \mathrm{~A}$ 且 $\mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}$ ，则 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right) \neq \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)$ ；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数
其中的真命题是②③④（写出所有真命题的编号）
【考点】抽象函数及其应用。
【专题】压轴题；新定义．
【分析】根据单函数的定义 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)$ 时总有 $\mathrm{x}_{1}=\mathrm{x}_{2}$ ，可知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 则对于任意 $\mathrm{b} \in \mathrm{B}$ ，它至多有一个原象，而①$f(-1)=f(1)$ ，显然 $-1 \neq 1$ ，可知它不是单函数，②③④都是，可得结果．
【解答】解：∵ 若 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in \mathrm{~A}$ ，且 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)$ 时总有 $\mathrm{x}_{1}=\mathrm{x}_{2}$ ，则称 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为单函数
∴（1）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}$ 不是单函数，
$\because f(-1)=f(1)$ ，显然 $-1 \neq 1$ ，
∴ 函数 $f(x)=x^{2}(x \in R)$ 不是单函数；
（2）∵ 函数 $f(x)=2^{x}(x \in R)$ 是增函数，
$\therefore \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)$ 时总有 $\mathrm{x}_{1}=\mathrm{x}_{2}$ ，
即（2）正确；
③$\because f(x)$ 为单函数，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，
若 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)$ ，则 $\mathrm{x}_{1}=\mathrm{x}_{2}$ ，与 $\mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}$ 矛盾
∴（3）正确；
（4）同②；
故答案为：②③④．
【点评】此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力．