（5 分）在平面直角坐标系xOy中，角α 与角β均以Ox为…——2017 高考数学第 12 题答案解析

【考点】GP：两角和与差的三角函数

【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值

**方法一**：根据教的对称得到 $\sin \alpha = \sin \beta = { \frac { 1 } { 3 } } , \cos \alpha = - \cos \beta$ ，以及两角差的余弦公式即可求出

**方法二**：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出

【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于 y轴对称，$\therefore \sin \alpha = \sin \beta = { \frac { 1 } { 3 } } , \cos \alpha = - \cos \beta$

$$ \therefore \cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = - \cos ^ { 2 } \alpha + \sin ^ { 2 } \alpha = 2 \sin ^ { 2 } \alpha - 1 = { \frac { 2 } { 9 } } - 1 = - { \frac { 7 } { 9 } } $$

**方法二**：$\because \sin a = \frac { 1 } { 3 }$

当α在第一象限时， $\cos \alpha = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 }$

$\because \mu , \beta$ 角的终边关于y轴对称，

$\therefore \beta$ 在第二象限时， $\sin \beta = \sin \alpha = \frac { 1 } { 3 } , \cos \beta = - \cos \alpha = - \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } ,$

$$ \therefore \cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = - \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } \times \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } + \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 3 } - \frac { 7 } { 9 } $$

$$ \therefore \sin a = \frac { 1 } { 3 } $$

当α在第二象限时， $\cos \alpha = - \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 }$

$\because \mu , \beta$ 角的终边关于y轴对称，

$\therefore \beta$ 在第一象限时， $\sin \beta = \sin \alpha = \frac { 1 } { 3 } , \cos \beta = - \cos \alpha = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 }$

$$ \therefore \cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = - \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } \times \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } + \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 3 } - \frac { 7 } { 9 } $$

综上所述 $\cos ( a - \beta ) = - \frac { 7 } { 9 }$

故答案为： $- \frac { 7 } { 9 }$

【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题