（14分）已知函数 f ( x ) = sin ^ 2 x…——2017 高考数学第 18 题答案解析

【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，

（Ⅰ）代入可得： $\textsf { f } ( \frac { 2 \pi } { 3 } )$ 的值

（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间

【解答】解：∵函数 $9 ( x ) = \sin ^ { 2 } x - \cos ^ { 2 } x - 2 \sqrt { 3 } \sin x \cos x = - \sqrt { 3 } \sin 2 x - \cos 2 x = 2 \sin$ $( 2 \mathsf { x } ^ { + } \frac { 7 \pi } { 6 } )$

（Ⅰ） ${ \textbf { \textsf { f } } } ( { \frac { 2 \pi } { 3 } } ) = 2 \sin ( 2 \times { \frac { 2 \pi } { 3 } } + { \frac { 7 \pi } { 6 } } ) = 2 \sin { \frac { 5 \pi } { 2 } } = 2 ,$

（Ⅱ） $\because \omega = 2$ ，故 $\mathsf { T } \boldsymbol { = } \boldsymbol { \pi }$ ，

即f（x）的最小正周期为π，

由 $2 { \times } + \frac { 7 \pi } { 6 } { \in } [ - \frac { \pi } { 2 } { + } 2 { \ k } \pi , \frac { \pi } { 2 } { + } 2 { \ k } \pi ] , { \ k } { \in } Z$ 得：

$\mathbf { x } \in [ - \frac { 5 \pi } { 6 } + \mathbf { k \pi } , - \frac { \pi } { 3 } + \mathbf { k \pi } ]$ ，k∈Z，

故f（x）的单调递增区间为 $[ - \frac { 5 \pi } { 6 } + k \pi , - \frac { \pi } { 3 } + k \pi ]$ ，k∈Z

【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档