2018_新课标II卷
9．（5分）在长方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 中， $A B = B C = 1$ $\mathsf { A A } _ { 1 } \mathsf { = } \sqrt { 3 } ,$ ，则异面直线 $\mathsf { A D } _ { 1 }$ 与 $\mathsf { i } \mathsf { D } \mathsf { B } _ { 1 }$ 所成角的余弦值为（A $\frac { 1 } { 5 }$ B $\frac { \sqrt { 5 } } { 6 }$ C $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$ D $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】LM：异面直线及其所成的角
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， $\mathsf { D D } _ { 1 }$ 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 $\mathsf { A D } _ { 1 }$ 与 $\mathsf { D } \mathsf { B } _ { 1 }$ 所成角的余弦值
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， $\mathsf { D D } _ { 1 }$ 为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在长方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } } \mathsf { f } \mathsf { I }$ $A B = B C = 1$
$$ { \mathsf { A A } } _ { 1 } { = } { \sqrt { 3 } } , $$
∴A $( 1 , ~ 0 , ~ 0 ) ~ , ~ { \sf D } _ { 1 } ~ ( 0 , ~ 0 , ~ \sqrt { 3 } ) ~ , ~ { \sf D } ~ ( 0 , ~ 0 , ~ 0 )$
B<sub>1</sub> $( 1 , \ 1 , \ { \sqrt { 3 } } )$
=（﹣1，0， ）， =（1，1， ），
设异面直线 ${ \mathsf { A D } } _ { 1 }$ 与 $\mathsf { D } \mathsf { B } _ { 1 }$ 所成角为θ，
则 $\cos \theta = \frac { \vert \overrightarrow { A D _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { D B _ { 1 } } \vert } { \vert \overrightarrow { A D _ { 1 } } \vert \cdot \vert \overrightarrow { D B _ { 1 } } \vert } = \frac { 2 } { 2 \sqrt { 5 } } = \frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$
故选：C
∴异面直线 $\mathsf { A D } _ { 1 }$ 与 $\mathsf { D B } _ { 1 }$ 所成角的余弦值为 $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题