设 x, y R，则＂ x ≥ 2 且 y ≥ 2 ＂是＂…——2011 高考数学第 2 题答案解析

【答案】A

【解答】
（5 分）（ 2011 • 天津）设 $x, y \in R$ ，则＂$x \geq 2$ 且 $y \geq 2$＂是＂$x^{2}+y^{2} \geq 4$＂的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑。
【分析】由＂$x \geq 2$ 且 $y \geq 2$＂推出＂$x^{2}+y^{2} \geq 4$＂可证明充分性；由满足＂$x^{2}+y^{2} \geq 4$＂可举出反例推翻＂$x \geq 2$且 $y \geq 2^{\prime \prime}$ ，则证明不必要性，综合可得答案。
【解答】解：若 $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ，则 $x^{2} \geq 4, y^{2} \geq 4$ ，所以 $x^{2}+y^{2} \geq 8$ ，即 $x^{2}+y^{2} \geq 4$ ；
若 $x^{2}+y^{2} \geq 4$ ，则如 $(-2,-2)$ 满足条件，但不满足 $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ．
所以＂$x \geq 2$ 且 $y \geq 2$＂是＂$x^{2}+y^{2} \geq 4$＂的充分而不必要条件．
故选 A。
【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义。