关于函数f ( x ) = sin x + 1 sin x…——2020 高考数学第 16 题答案解析

【答案】②③

【解析】

【分析】

利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取- $- \pi < x < 0$ 可判断命题④的正误.综合可得出结论.

【详解】对于命题①， $f \left( { \frac { \pi } { 6 } } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } + 2 = { \frac { 5 } { 2 } } , f \left( - { \frac { \pi } { 6 } } \right) = - { \frac { 1 } { 2 } } - 2 = - { \frac { 5 } { 2 } }$ ，则

$$ f { \Biggl ( } - { \frac { \pi } { 6 } } { \Biggr ) } \neq f { \Biggl ( } { \frac { \pi } { 6 } } { \Biggr ) } $$

所以，函数f(x)的图象不关于y轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数 f(x)的定义域为 $\left\{ x | x \neq k \pi , k \in Z \right\}$ ，定义域关于原点对称，

$$ f \left( - x \right) = \sin \left( - x \right) + { \frac { 1 } { \sin \left( - x \right) } } = - \sin x - { \frac { 1 } { \sin x } } = - { \Biggl ( } \sin x + { \frac { 1 } { \sin x } } { \Biggr ) } = - f \left( x \right) , $$

所以，函数f(x)的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③， $\because f { \left( { \frac { \pi } { 2 } } - x \right) } = \sin { \left( { \frac { \pi } { 2 } } - x \right) } + { \frac { 1 } { \sin { \left( { \frac { \pi } { 2 } } - x \right) } } } = \cos x + { \frac { 1 } { \cos x } } ,$

$$ f \left( { \frac { \pi } { 2 } } + x \right) = \sin \left( { \frac { \pi } { 2 } } + x \right) + { \frac { 1 } { \sin \left( { \frac { \pi } { 2 } } + x \right) } } = \cos x + { \frac { 1 } { \cos x } } \ , \ \operatorname { \iiint } \ f \left( { \frac { \pi } { 2 } } - x \right) = f \left( { \frac { \pi } { 2 } } + x \right) \ , $$

所以，函数 f(x)的图象关于直线 $x = \frac { \pi } { 2 }$ 对称，命题③正确；

对于命题④，当 $- \pi < x < 0$ 时， $\sin x < 0$ ，则 $f \left( x \right) = \sin x + { \frac { 1 } { \sin x } } < 0 < 2$

命题④错误.

故答案为：②③.

【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.