2020_江苏卷
15.在三棱柱 $A B C { - } A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 中， $A B \bot A C$ $B _ { 1 } C \bot$ 平面ABC，E，F分别是AC， $B _ { 1 } C$ 的中点.
（1）求证： $E F / /$ 平面 $A B _ { 1 } C _ { 1 }$
（2) 求证：平面 $A B _ { 1 } C \bot$ 平面 $A B B _ { 1 }$
15.在三棱柱 $A B C { = } A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 中， $A B \bot A C$ $B _ { 1 } C \bot$ 平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点.
（1）求证： $E F / /$ 平面 $A B _ { 1 } C _ { 1 }$
（2) 求证：平面 $A B _ { 1 } C \bot$ 平面 $A B B _ { 1 }$
(1) 证明详见解析; (2) 证明详见解析.【解析】
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】
【分析】
（1）通过证明 $E F / / A B _ { 1 }$ ，来证得 $E F / /$ 平面 $A B _ { 1 } C _ { 1 }$
(2) 通过证明 $A B \perp$ 平面 $A B _ { 1 } C$ ，来证得平面 $A B _ { 1 } C \perp$ 平面 $A B B _ { 1 }$
【详解】①由于 $E , F$ 分別是 $A C , B _ { 1 } C$ 的中点，所以 $E F / / A B _ { 1 }$
由于 $E F \neq$ 平面 $A B _ { 1 } C _ { 1 } , A B _ { 1 } \subset$ 平面 $A B _ { 1 } C _ { 1 }$ ，所以 $E F / /$ 平面 $A B _ { 1 } C _ { 1 }$
> ②由 $\mp B _ { 1 } C \perp$ 平面 ABC , $A B { \dot { \mathsf { I } } }$ 平面 $A B C$ ，所以 $B _ { 1 } C \bot A B$
由于 $A B \bot A C , A C \cap B _ { 1 } C = C$ ，所以 $A B \perp$ 平面 $A B _ { 1 } C$
由于 $A B { \dot { \mathsf { I } } }$ 平面 $A B B _ { 1 }$ ，所以平面 $A B _ { 1 } C$ ⊥平面 $A B B _ { 1 }$
【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题