设函数 f ( x ) = a ( x + 1 ) ^ 2…——2024 高考数学第 6 题答案解析

【答案】D

【解析】

【分析】解法一：令 $F \left( x \right) = a x ^ { 2 } + a - 1 , G \left( x \right) = \cos x$ ，分析可知曲线y = F(x) 与y G x= ( )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令$h \left( x \right) = f ( x ) - g \left( x \right) , x \in \left( - 1 , 1 \right)$ ，可知h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.

【详解】解法一：令 $f ( x ) = g \left( x \right)$ ，即 $a ( x + 1 ) ^ { 2 } - 1 = \cos x + 2 a x$ ，可得 $a x ^ { 2 } + a - 1 = \cos x$

令 $F \left( x \right) = a x ^ { 2 } + a - 1 , G \left( x \right) = \cos x$

原题意等价于当xÎ(-1,1)时，曲线 $y = F ( x ) y = G ( x )$ 恰有一个交点，

注意到 $F ( x ) , G ( x )$ 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得F(0)=G(0)，即a−1=1，解得a=2，

若a=2，令F(x)=G(x)，可得 $2 x ^ { 2 } + 1 - \cos x = 0$

因为x∈(−1,1)，则 $2 x ^ { 2 } \geq 0 , 1 - \cos x \geq 0$ ，当且仅当x =0时，等号成立，

可得 $2 x ^ { 2 } + 1 - \cos x \geq 0$ ，当且仅当x =0时，等号成立，

则方程 $2 x ^ { 2 } + 1 - \cos x = 0$ 有且仅有一个实根 0，即曲线y =F(x) 与y G x= ( )恰有一个交点，

所以a =2符合题意；

综上所述：a =2.

解法二：令 $h \left( x \right) = f ( x ) - g \left( x \right) = a x ^ { 2 } + a - 1 - \cos { x } , x \in \left( - 1 , 1 \right)$

原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，

因为 $h \left( - x \right) = a \left( - x \right) ^ { 2 } + a - 1 - \cos \left( - x \right) = a x ^ { 2 } + a - 1 - \cos x = h \left( x \right)$

则h(x)为偶函数，

根据偶函数的对称性可知 h(x)的零点只能为 0，

即 $h \left( 0 \right) = a - 2 = 0$ ，解得a =2，若a = 2，则 $h \left( x \right) = 2 x ^ { 2 } + 1 - \cos x , x \in \left( - 1 , 1 \right)$ 又因为 $2 x ^ { 2 } \geq 0 , 1 - \cos x \geq 0$ 当且仅当x =0时，等号成立，可得 $h \left( x \right) \geq 0$ ，当且仅当x =0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以a=2符合题意；故选：D.