设直线 1: y=k x+b(k>0)，圆 C_ 1 :…——2020 高考数学第 15 题答案解析

【分析】根据直线 $l$ 与两圆都相切，分别列出方程 $d_{1}=\frac{|\mathrm{b}|}{\sqrt{1+\mathrm{k}^{2}}}=1, d_{2}=\frac{|4 \mathrm{k}+\mathrm{b}|}{\sqrt{1+\mathrm{k}}}=1$ ，解得即可．

解：由条件得 $C_{1}(0,0), r_{1}=1, C_{2}(4,0), r_{2}=1$ ，
因为直线 $l$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 都相切，
故有 $d_{1}=\frac{|\mathrm{b}|}{\sqrt{1+\mathrm{k}^{2}}}=1, d_{2}=\frac{|4 \mathrm{k}+\mathrm{b}|}{\sqrt{1+\mathrm{k}^{2}}}=1$ ，
则有 $\frac{|\mathrm{b}|}{\sqrt{1+\mathrm{k}^{2}}}=\frac{|4 \mathrm{k}+\mathrm{b}|}{\sqrt{1+\mathrm{k}^{2}}}$ ，故可得 $b^{2}=(4 k+b)^{2}$ ，整理得 $k(2 k+b)=0$ ，
因为 $k>0$ ，所以 $2 k+b=0$ ，即 $b=-2 k$ ，
代入 $d_{1}=\frac{|\mathrm{b}|}{\sqrt{1+\mathrm{k}^{2}}}=1$ ，解得 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $b=-\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3} ;-\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．