（本题满分 15 分） 已知函数 f(x)=x^ 3 +3…——2014 高考数学第 21 题答案解析

解析：（I）因为 $a>0$ ，当 $-1 \leq x \leq 1$ 时，所以
> ①若 $-1 \leq x \leq a$ ，则 $f(x)=x^{3}+3(a-x)=x^{3}-3 x+3 a$ ，

$$ \therefore f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3=3(x+1)(x-1), $$

$\therefore f^{\prime}(x)<0, \therefore f(x)$ 在 $(-1, a)$ 上为减函数；
若 $a \leq x \leq 1$ ，则 $f(x)=x^{3}+3(x-a)=x^{3}+3 x-3 a$ ，
$\therefore f^{\prime}(x)=3 x^{2}+3>0, \therefore f(x)$ 在 $(a, 1)$ 上为减函数，
$\therefore g(a)=f(a)=a^{3}$ ．
> ②当 $a \geq 1$ 时，有 $x \leq a$ ，则 $f(x)=x^{3}+3(a-x)=x^{3}-3 x+3 a$ ，
$\therefore f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3=3(x+1)(x-1)$ ，
∴ 当 $-1<x<1$ 时，$f^{\prime}(x)<0, \therefore f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上为减函数，$\therefore g(a)=f(1)=3 a-2$ ．
综上所述，$g(a)=\left\{\begin{array}{ll}a^{3}, & (0<a<1) \\ 3 a-2, & (a \geq 1)\end{array}\right.$ ．
（II）设 $h(x)=f(x)-g(a)$ ，
> ①当 $0<a<1$ 时，$g(a)=a^{3}$ ．
若 $x \in[a, 1], h(x)=f(x)-g(a)=x^{3}+3 x-3 a-a^{3}$ ，
$h^{\prime}(x)=3 x^{2}+3$ ，则 $h(x)$ 在 $x \in(a, 1)$ 上是增函数，$h(x)$ 在 $x \in[a, 1]$ 上的最大值为：
$h(1)=4-3 a-a^{3}$ ，且 $0<a<1$ ，所以 $h(1) \leq 4$ ，即 $f(x) \leq g(a)+4$ ．
若 $x \in[-1, a], h(x)=f(x)-g(a)=x^{3}-3 x+3 a-a^{3}$ ，
$h^{\prime}(x)=3 x^{2}-3$ ，则 $h(x)$ 在 $x \in(-1, a)$ 上是减函数，$h(x)$ 在 $x \in[-1, a]$ 上的最大值为：
$h(-1)=2+3 a-a^{3}$ ，设 $t(a)=2+3 a-a^{3}, t^{\prime}(a)=3-3 a^{2}>0$ ，因为 $t(a)$ 在 $x \in(0,1)$ 上是增
函数，所以 $t(a)<t(1)=4$ ，即 $h(-1)<4$ ，故 $f(x) \leq g(a)+4$ ．
> ②当 $a \geq 1$ 时，$g(a)=3 a-2$ ，故 $h(x)=x^{3}-3 x+2, h^{\prime}(x)=3 x^{2}-3$ ，此时，$h(x)$ 在 $(-1,1)$
上是减函数，因此 $h(x)$ 在 $x \in[-1,1]$ 上的最大值为：
$h(-1)=4$ ，故 $f(x) \leq g(a)+4$ ．
综上，当 $x \in[-1,1]$ 时，恒有 $f(x) \leq g(a)+4$ ．