（10分） A B C 的内角 A、 B、 C 的对边分别…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理。
【专题】58：解三角形．
【分析】由 $3 a \cos C=2 c \cos A$ ，利用正弦定理可得 $3 \sin A \cos C=2 \sin C \cos A$ ，再利用同角的三角函数基本关系式可得 $\tan C$ ，利用 $\tan B=\tan [\pi-(A+C)]=-\tan (A+$ C）即可得出。

【解答】解：$\because 3 a \cos \mathrm{C}=2 c \cos \mathrm{~A}$ ，
由正弦定理可得 $3 \sin \mathrm{~A} \cos \mathrm{C}=2 \sin \mathrm{C} \cos \mathrm{A}$ ，
$\therefore 3 \tan \mathrm{~A}=2 \tan \mathrm{C}$ ，
$\because \tan \mathrm{A}=\frac{1}{3}$,
$\therefore 2 \tan \mathrm{C}=3 \times \frac{1}{3}=1$ ，解得 $\tan \mathrm{C}=\frac{1}{2}$ ．
$\therefore \tan B=\tan [\pi-(A+C)]=-\tan (A+C)=-\frac{\tan A+\tan C}{1-\tan A \tan C}=-\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}}=-1$ ，
$\because \mathrm{B} \in(0, \pi)$,
$\therefore B=\frac{3 \pi}{4}$
【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．