若双曲线 x ^ 2 a ^ 2 - y ^ 2 b ^…——2015 高考数学第 6 题答案解析

【答案】D

【解析】因为双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ 的一条渐近线经过点（3，-4），$\therefore 3 \dot { 6 } = 4 a ,$ $\begin{array} { r } { \ X \ c ^ { 2 } - a ^ { 2 } ) = 1 6 a ^ { 2 } , } \end{array}$ $e = \frac { c } { a } = \frac { \pmb { 5 } } { 3 }$

故选 D.

【考点定位】双曲线的简单性质

【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：①与双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ 共渐近线的可设为 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = \lambda ( \lambda \neq 0 )$ ；②若渐近线方程为 $y = \pm { \frac { b } { a } } x$ ，则可设为 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = \lambda ( \lambda \neq 0 )$ ；③ 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 ；b④ $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 . b > 0 )$ 的一条渐近线的斜率为 ${ \frac { b } { a } } = { \sqrt { \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } } = { \sqrt { e ^ { 2 } - 1 } }$ .可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.