2021_浙江卷
10. 已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { 1 } = 1 , a _ { n + 1 } = { \frac { a _ { n } } { 1 + { \sqrt { a _ { n } } } } } { \Big ( } n \in \mathbf { N } ^ { * } { \Big ) }$ .记数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和为 $S _ { n }$ ，则（） A $\frac { 1 } { 2 } < S _ { 1 0 0 } < 3$ B. $3 < S _ { \mathrm { 1 0 0 } } < 4$ C. $4 < S _ { 1 0 0 } < \frac { 9 } { 2 }$ D. $\frac { 9 } { 2 } < S _ { 1 0 0 } < 5$
A
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】A
【解析】
【分析】显然可知， $S _ { 1 0 0 } > \frac { 1 } { 2 }$ ，利用倒数法得到 $\frac { 1 } { a _ { n + 1 } } = \frac { 1 } { a _ { n } } + \frac { 1 } { \sqrt { a _ { n } } } = \left( \frac { 1 } { \sqrt { a _ { n } } } + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 }$ ，再放缩可得$\frac { 1 } { \sqrt { a _ { n + 1 } } } < \frac { 1 } { \sqrt { a _ { n } } } + \frac { 1 } { 2 }$ ，由累加法可得 $a _ { n } \geq \frac { 4 } { ( n + 1 ) ^ { 2 } }$ ，进而由 $a _ { n + 1 } = { \frac { a _ { n } } { 1 + { \sqrt { a _ { n } } } } }$ 局部放缩可得 $\frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } \leq \frac { n + 1 } { n + 3 }$ ，然后利用累乘法求得 $a _ { n } \leq \frac { 6 } { ( n + 1 ) ( n + 2 ) }$ ，最后根据裂项相消法即可得到 $S _ { 1 0 0 } < 3$ ，从而得解.
【详解】因为 $a _ { 1 } = 1 , a _ { n + 1 } = { \frac { a _ { n } } { 1 + { \sqrt { a _ { n } } } } } { \Big ( } n \in \mathrm { N } ^ { * } { \Big ) }$ ，所以 $a _ { n } > 0 , S _ { 1 0 0 } > \frac { 1 } { 2 }$
$$ a _ { n + 1 } = \frac { a _ { n } } { 1 + \sqrt { a _ { n } } } \Rightarrow \frac { 1 } { a _ { n + 1 } } = \frac { 1 } { a _ { n } } + \frac { 1 } { \sqrt { a _ { n } } } = \left( \frac { 1 } { \sqrt { a _ { n } } } + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } $$
$\therefore \frac { 1 } { a _ { n + 1 } } < \left( \frac { 1 } { \sqrt { a _ { n } } } + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \Rightarrow \frac { 1 } { \sqrt { a _ { n + 1 } } } < \frac { 1 } { \sqrt { a _ { n } } } + \frac { 1 } { 2 }$ ，即 $\frac { 1 } { \sqrt { a _ { n + 1 } } } - \frac { 1 } { \sqrt { a _ { n } } } < \frac { 1 } { 2 }$
根据累加法可得， $\frac { 1 } { \sqrt { a _ { n } } } \leq 1 + \frac { n - 1 } { 2 } = \frac { n + 1 } { 2 }$ ，当且仅当n=1时取等号，
$$ \therefore a _ { n } \geq { \frac { 4 } { ( n + 1 ) ^ { 2 } } } \quad \therefore a _ { n + 1 } = { \frac { a _ { n } } { 1 + { \sqrt { a _ { n } } } } } \leq { \frac { a _ { n } } { 1 + { \frac { 2 } { n + 1 } } } } = { \frac { n + 1 } { n + 3 } } a _ { n } $$
$$ \therefore { \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } } \leq { \frac { n + 1 } { n + 3 } } , $$
由累乘法可得 $a _ { n } \leq \frac { 6 } { ( n + 1 ) ( n + 2 ) }$ ，当且仅当n=1时取等号，
由裂项求和法得：
所以 $S _ { 1 0 0 } \le 6 { \left( { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 4 } } - { \frac { 1 } { 5 } } + \cdots + { \frac { 1 } { 1 0 1 } } - { \frac { 1 } { 1 0 2 } } \right) } = 6 { \left( { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 1 0 2 } } \right) } < 3$ ，即 $\frac { 1 } { 2 } < S _ { 1 0 0 } < 3$
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到 $\sqrt { a _ { n } } , \sqrt { a _ { n + 1 } }$ 的不等关系，再由累加法可求得 $a _ { n } \geq \frac { 4 } { ( n + 1 ) ^ { 2 } }$ ，由题目条件可知要证 $S _ { 1 0 0 }$ 小于某数，从而通过局部放缩得到 $a _ { n } , a _ { n + 1 }$ 的不等关系，改变不等式的方向得到
$a _ { n } \leq \frac { 6 } { ( n + 1 ) ( n + 2 ) }$ ，最后由裂项相消法求得 $S _ { 1 0 0 } < 3$