（14分）已知椭圆C： x ^ 2 + 3 y ^ 2 =…——2015 高考数学第 20 题答案解析

【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合

【专题】26：开放型；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】（1）通过将椭圆C 的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；

（2）通过令直线AE 的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；

（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可

【解答】解：（1）∵椭圆 $\mathsf { C } : \mathsf { x } ^ { 2 } { + } 3 \mathsf { y } ^ { 2 } { = } 3$

$\therefore$ 椭圆C的标准方程为： $\frac { \tt x ^ { 2 } } { 3 } + y ^ { 2 } = 1$

$\therefore a = \sqrt { 3 }$ ，b=1， $\mathsf { c } = \sqrt { 2 } ,$

$\therefore$ 椭圆C的离心率 $e { = } \frac { c } { a } { = } \frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$

> ② $\because \mathsf { A B }$ 过点 D（1，0）且垂直于 x 轴，

$\therefore$ 可设 $\mathsf { A } \ ( \mathsf { 1 } , \mathsf { \gamma } _ { \mathsf { Y } _ { 1 } } ) , \mathsf { B } \ ( \mathsf { 1 } , \mathsf { \Omega } - \mathsf { \gamma } _ { \mathsf { Y } _ { 1 } } )$

∵E（2，1），∴直线AE的方程为： $\mathsf { y } - 1 \mathsf { = \Psi } \left( 1 - \mathsf { y } _ { 1 } \right) \mathsf { \Psi } ( \mathsf { x } - 2 )$ ），

令 x=3，得 M（3， $2 - \mathsf { y } _ { 1 } )$

$\therefore$ 直线BM的斜率 $k _ { \mathsf { B M } } = \frac { 2 - \mathbf { y } _ { 1 } + \mathbf { y } _ { 1 } } { 3 - 1 } = 1$

（3）结论：直线BM 与直线DE平行

证明如下：

当直线AB的斜率不存在时，由②知 $\mathsf { k } _ { \mathsf { B } \mathsf { M } } = 1$

又∵直线DE的斜率 $k _ { \mathsf { D E } } = \frac { 1 - 0 } { 2 - 1 } = 1 , \quad \mathsf { i . B M / / D E }$

当直线AB的斜率存在时，设其方程为 $y = k ( x - 1 ) ( k \neq 1 )$

设 $\begin{array} { r } { \textbf { A } ( \mathsf { x } _ { 1 } , \mathsf { y } _ { 1 } ) , \textbf { B } ( \mathsf { x } _ { 2 } , \mathsf { y } _ { 2 } ) } \end{array}$

则直线AE的方程为 $\forall - 1 = \frac { \mathbf { y } _ { 1 } - 1 } { \mathbf { x } _ { 1 } - 2 } \ ( \mathbf { x } - 2 )$

令x=3，则点M（3， $\frac { \mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { y } _ { 1 } - 3 } { \mathbf { x } _ { 1 } - 2 } )$

$\therefore$ 直线BM的斜率 $k _ { \scriptscriptstyle \mathrm { B M } } = \frac { \frac { \mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { y } _ { 1 } - 3 } { \mathbf { x } _ { 1 } - 2 } - \mathbf { y } _ { 2 } } { 3 - \mathbf { x } _ { 2 } } .$

联立 $\left\{ \begin{array} { l } { { \tt x } ^ { 2 } + 3 { \tt y } ^ { 2 } = 3 } \\ { { \tt y } = { \tt k } \left( { \tt x } - 1 \right) } \end{array} \right.$ ，得 $( 1 + 3 { \ k } ^ { 2 } ) \ \times ^ { 2 } \ - \ 6 { \ k } ^ { 2 } \times + 3 { \ k } ^ { 2 } \ - \ 3 = 0$

由韦达定理，得 $\mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } = { \frac { 6 \mathbf { k } ^ { 2 } } { 1 + 3 \mathbf { k } ^ { 2 } } } , \mathbf { x } _ { 1 } \mathbf { x } _ { 2 } = { \frac { 3 \mathbf { k } ^ { 2 } - 3 } { 1 + 3 \mathbf { k } ^ { 2 } } }$

$$ \mathbf { \therefore k } _ { \mathsf { B M } } - 1 = { \frac { \operatorname { k } ( \mathbf { \lambda _ { x _ { 1 } } } - 1 ) + \mathbf { \lambda _ { x _ { 1 } } } - 3 - \operatorname { k } ( \mathbf { \lambda _ { x _ { 2 } } } - 1 ) \left( \mathbf { \lambda _ { x _ { 1 } } } - 2 \right) - \left( 3 - \mathbf { \lambda _ { x _ { 2 } } } \right) \left( \mathbf { \lambda _ { x _ { 1 } } } - 2 \right) } { \left( 3 - \mathbf { \lambda _ { x _ { 2 } } } \right) \left( \mathbf { \lambda _ { x _ { 1 } } } - 2 \right) } } $$

(k-1)[−x₁x₂+2(x₁+x₂)-3] (3-x2)(x1−2)

$$ = { \frac { ( \mathbf { k } { - } 1 ) ( { \frac { - 3 \mathbf { k } ^ { 2 } + 3 } { 1 + 3 \mathbf { k } ^ { 2 } } } { + } { \frac { 1 2 \mathbf { k } ^ { 2 } } { 1 + 3 \mathbf { k } ^ { 2 } } } { - } 3 ) } { ( 3 { - } \mathbf { x } _ { 2 } ) ( \mathbf { x } _ { 1 } { - } 2 ) } } $$

=0，

$\therefore k _ { B M } = 1 = k _ { D E }$ ，即 $\mathsf { B M } / / \mathsf { D E }$

综上所述，直线BM与直线DE平行

【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能

力，注意解题方法的积累，属于中档题