2019_北京卷
16．（13分）设 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列， $a _ { 1 } = - 1 0$ ，且 $a _ { 2 } + 1 0 , a _ { 3 } + 8 , a _ { 4 } + 6$ 成等比数列
（Ⅰ）求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）记 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和为 $S _ { n } ,$ ，求 $S _ { n }$ 的最小值
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【分析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出 $d { = } 2$ ，由此能求出 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式
（Ⅱ）由 $a _ { 1 } = \textrm { - } 1 0 , \ d = 2$ ，得 $S _ { n } = \mathbf { \bar { \Phi } } 1 0 n + { \frac { \mathbf { \bar { n } } ( \mathbf { \bar { n } } - 1 ) \mathbf { \Phi } } { 2 } } \times 2 ^ { = { n ^ { 2 } } - 1 1 n = \mathbf { \Phi } ( n - { \frac { 1 1 } { 2 } } ) \mathbf { \Phi } ^ { 2 } } - { \frac { 1 2 1 } { 4 } } ,$ 由此能求出 $S _ { n }$ 的最小值
【解答】解： $( \mathrm { ~ I ~ } ) \because \{ a _ { n } \}$ 是等差数列， $a _ { 1 } = - 1 0$ ，且 $a _ { 2 } + 1 0 , a _ { 3 } + 8 , a _ { 4 } + 6$ 成等比数列$\therefore ( a _ { 3 } + 8 ) ^ { 2 } = ( a _ { 2 } + 1 0 ) ( a _ { 4 } + 6 )$
$$ \therefore ( - 2 + 2 d ) 2 = d ( - 4 + 3 d ) , $$
解得 d＝2，
$$ \therefore a _ { n } = a _ { 1 } + \ ( n - 1 ) \ d = - \ 1 0 + 2 n - 2 = 2 n - 1 2 . $$
（Ⅱ）由 $a _ { 1 } = \textrm { - } 1 0 , \ d = 2$ ，得：
$$ S _ { n } = \mathbf { \bar { \Phi } } 1 0 n + { \frac { \mathbf { n } ( \mathbf { n } - 1 ) \mathbf { \Phi } } { 2 } } \times 2 ^ = { n ^ { 2 } } - 1 1 n = { \mathbf { \Phi } } ( n - { \frac { 1 1 } { 2 } } ) { \mathbf { \Phi } } ^ { 2 } - { \frac { 1 2 1 } { 4 } } , $$
$\therefore n = 5$ 或 n＝6 时， $S _ { n }$ 取最小值﹣30
【点评】本题考查数列的通项公式、前 n 项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题