2014_新课标I卷
9．（5分）不等式组 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } + \mathbf { y } \geqslant 1 } \\ { \mathbf { x } - 2 \mathbf { y } \leqslant 4 } \end{array} \right.$ 的解集记为D，有下列四个命题：
p<sub>1</sub>：∀（x，y）∈D， $x ^ { + } 2 y \geq - \ 2 \ p _ { 2 }$ ：∃（x，y）∈D， $x + 2 y = 2$
p<sub>3</sub>：∀（x，y）∈D， $x ^ { + } 2 y { \leq } 3 p _ { 4 }$ ：∃（x，y）∈D， $\tt x ^ { + } 2 y \leq - \ 1$
其中真命题是（ ）
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义
【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑
【分析】作出不等式组 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } + \mathbf { y } \geqslant 1 } \\ { \mathbf { x } - 2 \mathbf { y } \leqslant 4 } \end{array} \right.$ 的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可
【解答】解：作出图形如下：
由图知，区域D为直线 $\mathsf { x } + \mathsf { y } = 1$ 与 $x - 2 y = 4$ 相交的上部角型区域，
$\mathsf { p } _ { 1 } \mathsf { : }$ ：区域D在 $x ^ { + } 2 y \geq - 2$ 区域的上方，故： $\forall \ ( \textsf { x } , \ \mathsf { y } ) \ \in \mathsf { D } , \ \mathsf { x } ^ { + } 2 \mathsf { y } \geq - 2$ 成立；
${ \mathsf { p } } _ { 2 } \mathbf { : }$ 在直线 $x + 2 y = 2$ 的右上方和区域D重叠的区域内， $\exists \ \left( \ b { \mathsf { x } } , \ \ b { \mathsf { y } } \right) \ \in \mathsf { D }$ $x + 2 y = 2$ ，故p<sub>2</sub>：∃（x，y）∈D， $x + 2 y = 2$ 正确；
${ \mathsf p } _ { 3 } \colon$ 由图知，区域D有部分在直线 $x + 2 y = 3$ 的上方，因此 ${ \sf p } _ { 3 }$ ： $\forall ( \textsf { x } , \textsf { y } ) \in \mathsf { D } , \mathsf { x } ^ { + } 2 \mathsf { y } \le$ 3错误；
$\mathsf { p } _ { 4 } \colon \ x ^ { + } 2 \mathsf { y } \leq - \ 1$ 的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故 $\mathsf { p } _ { 4 } \colon \exists ~ ( \mathsf { x } , ~ \mathsf { y } ) ~ \in$ D， $\mathsf { x } ^ { + } 2 \mathsf { y } \leq - \ 1$ 错误；
综上所述， ${ \mathsf p } _ { 1 } , \ { \mathsf p } _ { 2 }$ 正确；
故选：C
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题