已知数列na是公比大于 0 的等比数列．其前n项和为…——2024 高考数学第 21 题答案解析

【答案】 （1） $2 1nnS= -$
（2）①证明见详解；② $13 1 4 19nnSiinb=- +=$å
【解析】
【分析】 ①设等比数列na的公比为 0q>，根据题意结合等比数列通项公式求 q，再结合等比数列求
和公式分析求解；
（2）①根据题意分析可知 $12 , 1kk na b k-= = +$， $12 1nkkb-= -$，利用作差法分析证明；②根据题意结合
等差数列求和公式可得 $12 11213 1 4 3 4 49kkk kiib k k---=$é ù= - - -ë ûå，再结合裂项相消法分析求解.
【小问 1 详解】
设等比数列na的公比为 0q>，
因为 $1 2 31, 1a S a= = -$，即 $1 2 31a a a+ = -$，
可得 $21 1q q+ = -$，整理得 $22 0q q- - =$，解得 $2q=$或 $1q= -$（舍去），
所以 $1 22 11 2nnnS-= = --$
.
【小问 2 详解】
（i）由①可知 $12nna-=$，且 N*, 2k kÎ ³，
当 $12 4kkn a+=$ ³=时，则
11 12 2 1 11 1k kkk ka nn a a-+ +ì= < - = -í- = - <î
，即 11k ka n a+< - <
可知 $12 , 1kk na b k-= = +$，
$11 11 2 2 2 1 2 1k k kn a k kb b a a k k k k-- += + - -$ × = + - = -，
可得 $11 12 1 1 2 1 2 2 1 2 0kn k nk kk k k k k kb ka b-- -= - - + = - -$ ³ - - = -× ³-，

当且仅当 $2k=$时，等号成立，
所以 1n k nb a b-³ ×；
（ii）由①可知： $12 1 1nn nS a+= - = -$，
若 $1n=$，则 $1 11, 1S b= =$；
若 2n³，则 $112kk ka a-+- =$，
当 12 2 1k ki-< £ -时， $12i ib b k-- =$，可知ib为等差数列，
可得 $11 12 11 1 122 2 112 2 4 3 1 4 3 4 42 9kkk kk k k kiib k k k k k-- --- - -=-$é ù= × + = × = - - -ë ûå，
所以 $2 3 2 11 3 1 4 111 5 4 2 4 8 4 5 4 3 1 4 3 4 49 9n nS n nii nb n n-= - +$é ù= + ´ - ´ + ´ - ´ + ××× + - - - =ë ûå，
且 $1n=$，符合上式，综上所述： $13 1 4 19nnSiinb=- +=$å.
【点睛】关键点点睛：1.分析可知当 12 2 1k ki-< £ -时， $12i ib b k-- =$，可知ib为等差数列；
2.根据等差数列求和分析可得 $12 11213 1 4 3 4 49kkk kiib k k---=$é ù= - - -ë ûå.