【考点】87：等比数列的性质
【专题】54：等差数列与等比数列
【分析】 $\partial _ { 1 } \mathrm { + } \partial _ { 3 } \mathrm { = } \frac { \bar { \mathsf { a } } _ { 2 } } { \mathsf { q } } \mathrm { + } \bar { \mathsf { a } } _ { 2 } \mathsf { q } \mathrm { , ~ }$ 当且仅当 $\mathtt { a } _ { 2 }$ ，q 同为正时， $\mathsf { a } _ { 1 } \mathrm { + } \mathsf { a } _ { 3 } \geqslant 2 \mathsf { a } _ { 2 }$ 成 立 ；$a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 3 } ^ { 2 } = ( \frac { a _ { 2 } } { 9 } ) ^ { 2 } + ( a _ { 2 } 9 ) ^ { 2 } \geqslant 2 a _ { 2 } ^ { 2 } ,$ ，所以 $\mathtt { a } _ { 1 } ^ { 2 } + \mathtt { a } _ { 3 } ^ { 2 } \gg 2 \mathtt { a } _ { 2 } ^ { 2 } ;$ ；若 $\mathtt { a } _ { 1 } \mathtt { = a } _ { 3 }$ ，则 $\mathtt { a } _ { 1 } = \mathtt { a } _ { 1 } \mathtt { q } ^ { 2 }$ 从而可知 $\mathtt { a } _ { 1 } \mathtt { = a } _ { 2 }$ 或 $\mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { = } - \mathsf { a } _ { 2 }$ ；若 $\mathtt { a } _ { 3 } > \mathtt { a } _ { 1 }$ ，则 $\mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { q } ^ { 2 } > \mathsf { a } _ { 1 }$ ，而 ${ \sf a } _ { 4 } - { \sf a } _ { 2 } { = } { \sf a } _ { 1 } { \sf q } ( { \sf q } ^ { 2 } - 1 )$ 其正负由q的符号确定，故可得结论
【解答】解：设等比数列的公比为 q，则 $\partial _ { 1 } \mathrm { + } \partial _ { 3 } \mathrm { = } \frac { \bar { \mathsf { a } } _ { 2 } } { \mathsf { q } } \mathrm { + } \bar { \mathsf { a } } _ { 2 } \mathsf { q } \mathrm { , ~ }$ 当且仅当 $\mathsf { a } _ { 2 } , \mathsf { q }$ 同为正时， $\mathtt { a } _ { 1 } \mathtt { + a } _ { 3 } \geqslant 2 \mathtt { a } _ { 2 }$ 成立，故A不正确；
$a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 3 } ^ { 2 } = ( \frac { a _ { 2 } } { 9 } ) ^ { 2 } + ( a _ { 2 } 9 ) ^ { 2 } \geqslant 2 a _ { 2 } ^ { 2 } , \therefore a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 3 } ^ { 2 } \geqslant 2 a _ { 2 } ^ { 2 } ,$ ，故 B 正确；
若 $\mathtt { a } _ { 1 } \mathtt { = a } _ { 3 }$ ，则 $a _ { 1 } = a _ { 1 } { \mathsf { q } } ^ { 2 } , \quad \therefore { \mathsf { q } } ^ { 2 } = 1 , \quad \therefore { \mathsf { q } } = \pm 1 , \quad \therefore a _ { 1 } = a _ { 2 }$ 或 $\mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { = } - \mathsf { a } _ { 2 }$ ，故 C 不正确；
若 $\mathtt { a } _ { 3 } > \mathtt { a } _ { 1 }$ ，则 $\mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { q } ^ { 2 } { \mathop { > } } \mathsf { a } _ { 1 } , \mathsf { \dot { \ldots } } \mathsf { a } _ { 4 } - \mathsf { a } _ { 2 } \mathsf { = a } _ { 1 } \mathsf { q } \left( \mathsf { q } ^ { 2 } - 1 \right)$ ），其正负由 q 的符号确定，故 D不正确
故选：B
【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题