2015_省自主命题（广东）
16. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知向量 $m = ( { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } , \ - { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } )$ , n= (sin x, cos x) , x∈ (0,
$\frac { \pi } { 2 } )$
(1）若 ${ \bf m } \perp { \bf n }$ ，求tanx的值（2）若m与n的夹角为 $\frac { \pi } { 3 }$ ，求x的值。
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
解：（1）因为 $\overline { { m } } \perp \overline { { n } }$ ，所以 $\overline { { { m } } } \cdot \overline { { { n } } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \sin x - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \cos x = 0$ 即 $\sin x = \cos x$ ，且 $x \in \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ ，所以 $\tan x = { \frac { \sin x } { \cos x } } = 1$
(2) 易求得 $\left| \overline { { m } } \right| = 1 , \left| \overline { { n } } \right| = \sqrt { \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x } = 1$
若 $\overline { { m } }$ 与 $\vec { n }$ 的夹角为 $\frac { \pi } { 3 }$ ，则 $\cos { \frac { \pi } { 3 } } = { \frac { { \overline { { m } } } \cdot { \overline { { n } } } } { \left| { \overline { { m } } } \right| \cdot \left| { \overline { { n } } } \right| } } = { \frac { { \frac { { \sqrt { 2 } } } { 2 } } \sin x - { \frac { { \sqrt { 2 } } } { 2 } } \cos x } { 1 \times 1 } }$
化简为： $\sin x - \cos x = { \sqrt { 2 } } \sin ( x - { \frac { \pi } { 4 } } ) = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$
因为 $x \in \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ ，所以 $x - { \frac { \pi } { 4 } } \in \left( - { \frac { \pi } { 4 } } , { \frac { \pi } { 4 } } \right)$
所以 $x - { \frac { \pi } { 4 } } = { \frac { \pi } { 6 } }$ ，解得： $x = \frac { 5 \pi } { 1 2 }$