设 0 < a < 1，则随机变量X的分布列是： <tab…——2019 高考数学第 7 题答案解析

【答案】D【解析】【分析】

研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.

**方法一**：由分布列得 $E ( X ) = { \frac { 1 + a } { 3 } }$ ，则

$D ( X ) = \left( { \frac { 1 + a } { 3 } } - 0 \right) ^ { 2 } \times { \frac { 1 } { 3 } } + \left( { \frac { 1 + a } { 3 } } - a \right) ^ { 2 } \times { \frac { 1 } { 3 } } + \left( { \frac { 1 + a } { 3 } } - 1 \right) ^ { 2 } \times { \frac { 1 } { 3 } } = { \frac { 2 } { 9 } } \left( a - { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } }$ ，则当a 在(0,1) 内增大时，D X( )先减小后增大.

方法 2：则 $D ( X ) = E { \Big ( } X ^ { 2 } { \Big ) } - E ( X ) = 0 + { \frac { a ^ { 2 } } { 3 } } + { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { ( a + 1 ) ^ { 2 } } { 9 } } = { \frac { 2 a ^ { 2 } - 2 a + 2 } { 9 } } = { \frac { 2 } { 9 } } { \Bigg [ } { \Bigg ( } a - { \frac { 1 } { 2 } } { \Bigg ) } ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 4 } } { \Bigg ] }$

故选 D.

【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力

差，不能正确得到二次函数表达式.