2014_新课标 I 卷 (2014·理)
9．（5分）不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geqslant 1 \\ x-2 y \leqslant 4\end{array}\right.$ 的解集记为D，有下列四个命题：
$p_{1}: \forall(x, y) \in D, x+2 y \geq-2 p_{2}: \exists(x, y) \in D, x+2 y \geq 2$
$p_{3}: \forall(x, y) \in D, x+2 y \leq 3 p_{4}: \exists(x, y) \in D, x+2 y \leq-1$
其中真命题是（ ）
【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．
【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】作出不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geqslant 1 \\ x-2 y \leqslant 4\end{array}\right.$ 的表示的区域 $D$ ，对四个选项逐一分析即可。
【解答】解：作出图形如下：
由图知，区域 $D$ 为直线 $x+y=1$ 与 $x-2 y=4$ 相交的上部角型区域，
$\mathrm{p}_{1}$ ：区域 D 在 $\mathrm{x}+2 \mathrm{y} \geq-2$ 区域的上方，故：$\forall(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \in \mathrm{D}, \mathrm{x}+2 \mathrm{y} \geq-2$ 成立；
$p_{2}$ ：在直线 $x+2 y=2$ 的右上方和区域 $D$ 重叠的区域内，$\exists(x, y) \in D, x+2 y \geq 2$ ，故 $p$ 2：$\exists(x, y) \in D, x+2 y \geq 2$ 正确；
$p_{3}$ ：由图知，区域 $D$ 有部分在直线 $x+2 y=3$ 的上方，因此 $p_{3}: \forall(x, y) \in D, x+2 y \leq$ 3 错误；
$p_{4}: x+2 y \leq-1$ 的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故 $p_{4}: \exists(x, y) \in$ D，$x+2 y \leq-1$ 错误；
综上所述， $\mathrm{p}_{1} , \mathrm{p}_{2}$ 正确；
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．