（5分）已知正方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C…——2012 高考数学第 16 题答案解析

【考点】L2：棱柱的结构特征； LM ：异面直线及其所成的角．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为 2 ，以 $D A$ 为 $x$ 轴，$D C$ 为 $y$ 轴，$D D_{1}$ 为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系，则 $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=(0,2,1), \overrightarrow{\mathrm{D}_{1} \mathrm{~F}}=(0,2,-1)$ ，由此利用向量法能够求出异面直线 AE 与 $\mathrm{D}_{1} \mathrm{~F}$ 所成角的余弦值。

【解答】解：设正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为 2 ，以 $D A$ 为 $x$ 轴，$D C$ 为 $y$ 轴，$D D_{1}$ 为 $z$轴，

建立空间直角坐标系，
则 $A(2,0,0), E(2,2,1) D_{1}(0,0,2), F(0,2,1)$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AE}}=(0,2,1), \overrightarrow{\mathrm{D}_{1} \mathrm{~F}}=(0,2,-1)$ ，
设异面直线 $A E$ 与 $D_{1} F$ 所成角为 $\theta$ ，
则 $\cos \theta=\left|\cos <\overrightarrow{\mathrm{AE}}, \overrightarrow{\mathrm{D}_{1} \mathrm{~F}}>\left|=\left|\frac{0+4-1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}\right|=\frac{3}{5}\right.\right.$ ．
故答案为：$\frac{3}{5}$ ．

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．解题时要认真

审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．