【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】（1）利用公式计算可得 E X( ).
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合 $f ( 1 ) = 0$ 及极值点的范围可得 f(x)的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】① $E ( X ) = 0 \times 0 . 4 + 1 \times 0 . 3 + 2 \times 0 . 2 + 3 \times 0 . 1 = 1$
> ②设 $f \left( x \right) = p _ { 3 } x ^ { 3 } + p _ { 2 } x ^ { 2 } + \left( p _ { 1 } - 1 \right) x + p _ { 0 }$
因为 $p _ { 3 } + p _ { 2 } + p _ { 1 } + p _ { 0 } = 1$ ，故 $f \left( x \right) = p _ { 3 } x ^ { 3 } + p _ { 2 } x ^ { 2 } - \left( p _ { 2 } + p _ { 0 } + p _ { 3 } \right) x + p _ { 0 }$
若 $E ( X ) \leq 1$ ，则 $p _ { 1 } + 2 p _ { 2 } + 3 p _ { 3 } \leq 1$ ，故 $p _ { 2 } + 2 p _ { 3 } \leq p _ { 0 }$
$$
f ^ { \prime } \left( x \right) = 3 p _ { 3 } x ^ { 2 } + 2 p _ { 2 } x - \left( p _ { 2 } + p _ { 0 } + p _ { 3 } \right) ,
$$
因为 $f ^ { \prime } \left( 0 \right) = - \left( p _ { 2 } + p _ { 0 } + p _ { 3 } \right) < 0 , f ^ { \prime } \left( 1 \right) = p _ { 2 } + 2 p _ { 3 } - p _ { 0 } \leq 0$
故 $f ^ { \prime } ( x )$ 有两个不同零点 $x _ { 1 } , x _ { 2 }$ ，且 $x _ { 1 } < 0 < 1 \leq x _ { 2 }$
且 $x \in \left( - \infty , x _ { 1 } \right) \cup \left( x _ { 2 } , + \infty \right)$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) > 0 ; x \in \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right)$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) < 0$
故 $f \left( x \right) \ast \left( - \infty , x _ { 1 } \right) , \left( x _ { 2 } , + \infty \right)$ 上为增函数，在 $\left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right)$ 上为减函数，
若 $x _ { 2 } = 1$ ，因为 f(x)在 $\left( x _ { 2 } , + \infty \right)$ 为增函数且 $f ( 1 ) = 0$
而当 $x \in \left( 0 , x _ { 2 } \right)$ 时，因为 f(x)在 $\left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right)$ 上为减函数，故 $f \left( x \right) > f \left( x _ { 2 } \right) = f \left( 1 \right) = 0$
故1为 $p _ { 0 } + p _ { 1 } x + p _ { 2 } x ^ { 2 } + p _ { 3 } x ^ { 3 } = x$ 的一个最小正实根，
若 $x _ { 2 } > 1$ ，因为f(1)=0且在(0,x2)上为减函数，故1为 $p _ { 0 } + p _ { 1 } x + p _ { 2 } x ^ { 2 } + p _ { 3 } x ^ { 3 } = x$ 的一个最小正实根，
综上，若 $E ( X ) \leq 1$ ，则 p =1.
若 $E ( X ) > 1$ ，则 $p _ { 1 } + 2 p _ { 2 } + 3 p _ { 3 } > 1$ ，故 $p _ { 2 } + 2 p _ { 3 } > p _ { 0 }$
此时 $f ^ { \prime } \left( 0 \right) = - \left( p _ { 2 } + p _ { 0 } + p _ { 3 } \right) < 0 , f ^ { \prime } \left( 1 \right) = p _ { 2 } + 2 p _ { 3 } - p _ { 0 } > 0$
故f′(x)有两个不同零点 $x _ { 3 } , x _ { 4 }$ ，且 $x _ { 3 } < 0 < x _ { 4 } < 1$
且 $x \in \left( - \infty , x _ { 3 } \right) \cup \left( x _ { 4 } , + \infty \right)$ 时， $f ^ { \prime } \left( x \right) > 0 ; x \in \left( x _ { 3 } , x _ { 4 } \right) \mathbb { H } ^ { } , f ^ { \prime } \left( x \right) < 0$
故 f(x)在 $\left( - \infty , x _ { 3 } \right) , \left( x _ { 4 } , + \infty \right)$ 上为增函数，在 $\left( x _ { 3 } , x _ { 4 } \right)$ 上为减函数，
而f(1)=0，故 $f \left( x _ { 4 } \right) < 0$
$\mathbb { X } f ( 0 ) = p _ { 0 } > 0$ ，故f(x)在(0,x4)存在一个零点p，且 $p < 1$ .
所以 <sup>p</sup> 为 $p _ { 0 } + p _ { 1 } x + p _ { 2 } x ^ { 2 } + p _ { 3 } x ^ { 3 } = x$ 的一个最小正实根，此时 $p < 1$
故当E(X)>1时， $p < 1$
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.