在正四棱台 A B C D - A _ 1 B _ 1 C…——2023 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $\frac { 7 \sqrt { 6 } } { 6 } \# \# \frac { 7 } { 6 } \sqrt { 6 }$

【解析】

【分析】结合图像，依次求得 $A _ { 1 } O _ { 1 } , A O , A _ { 1 } M$ ，从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过 $A _ { 1 }$ 作 $A _ { 1 } M \perp A C$ ，垂足为M，易知 $A _ { 1 } M$ 为四棱台 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 的高，

因为 $A B = 2 , A _ { 1 } B _ { 1 } = 1 , A A _ { 1 } = \sqrt { 2 }$

$$ A _ {1} O _ {1} = \frac {1}{2} A _ {1} C _ {1} = \frac {1}{2} \times \sqrt {2} A _ {1} B _ {1} = \frac {\sqrt {2}}{2}, A O = \frac {1}{2} A C = \frac {1}{2} \times \sqrt {2} A B = \sqrt {2} $$

故 $A M = \frac 1 2 \big ( A C - A _ { 1 } C _ { 1 } \big ) = \frac { \sqrt 2 } 2$ ，则 $A _ { 1 } M = \sqrt { A _ { 1 } A ^ { 2 } - A M ^ { 2 } } = \sqrt { 2 - \frac { 1 } { 2 } } = \frac { \sqrt { 6 } } { 2 }$

所以所求体积为 $V = \frac { 1 } { 3 } \times ( 4 + 1 + \sqrt { 4 \times 1 } ) \times \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } = \frac { 7 \sqrt { 6 } } { 6 }$

故答案为： $\frac { 7 { \sqrt { 6 } } } { 6 }$