2012_退役省自主命题 (2012·理)
21．（本小题满分 13 分）
在直角坐标系 $x o y$ 中，曲线 $C_{1}$ 上的点均在圆 $C_{2}:(x-5)^{2}+y^{2}=9$ 外，且对 $C_{1}$ 上任意一点 $M, M$ 到直线 $x=-2$ 的距离等于该点与 $C_{2}$ 上点的距离的最小值。
（1）求曲线 $C_{1}$ 的方程；
（II）设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y_{0} \neq \pm 3\right)$ 为 $C_{2}$ 外一点，过 $P$ 作圆 $C_{2}$ 的两条切线，分别与曲线 $C_{1}$ 相交于点 $A, B$ 和 $C, D$ ，证明：当 $P$ 在直线 $x=-4$ 上运动时，四点 $A, B, C, D$ 的纵坐标之积为定值。
见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【解析】（1）解法 1 设 $M$ 的坐标为 $(x, y)$ ，由已知得 $|x+2|=\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}-3$ 。
易知圆 $C_{2}$ 上的点位于直线 $x=-2$ 的右侧，于是 $x+2>0$ ，所以 $\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}=x+5$化简得曲线 $C_{1}$ 的方程为 $y^{2}=20 x$
解法 2：由题设知，曲线 $C_{1}$ 上任意一点 $M$ 到圆心 $C_{2}$ 的距离等于它到直线 $x=-5$ 的距离，因此，曲线 $C_{1}$ 是以 $(5,0)$ 为焦点，直线 $x=-5$ 为准线的抛物线，故方程为 $y^{2}=20 x$
（II）当 $P$ 在直线 $x=-4$ 上运动时，$P$ 的坐标为 $\left(-4, y_{0}\right)$ ，又 $y_{0} \neq \pm 3$ ，则过 P 且与圆 $C_{2}$相切的直线的斜率为 $k$ 存在且不为 0 ，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为 $y-y_{0}=k(x+4)$ ，即 $k x-y+y_{0}+4 k=0$ ，于是
$\frac{\left|5 k+y_{0}+4 k\right|}{\sqrt{k^{2}+1}}=3$
整理得 $72 k^{2}+18 y_{0} k+y_{0}{ }^{2}-9=0$
设过点 $P$ 所作的两条切线 $P A, P C$ 的斜率为 $k_{1}, k_{2}$ ，则 $k_{1}, k_{2}$ 是方程（1）的两个实根，故
$k_{1}+k_{2}=-\frac{18 y_{0}}{72}=-\frac{y_{0}}{4}$
由 $\left\{\begin{array}{l}k_{1} x-y+y_{0}+4 k_{1}=0 \\ y^{2}=20 x\end{array}\right.$ 得 $k_{1} y^{2}-20 y+20\left(y_{0}+4 k_{1}\right)=0$
设四点 $A, B, C, D$ 的织坐标为 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$
则 $y_{1}, y_{2}$ 是方程（3）的两个实根，所以 $y_{1} y_{2}=\frac{20\left(y_{0}+4 k_{1}\right)}{k_{1}}$
同理可得 $y_{3} y_{4}=\frac{20\left(y_{0}+4 k_{2}\right)}{k_{2}}$
由（2）（4）（5）三式得
$$ \begin{aligned} y_{1} y_{2} y_{3} y_{4} & =\frac{400\left(y_{0}+4 k_{1}\right)\left(y_{0}+4 k_{2}\right)}{k_{1} k_{2}} \\ & =\frac{400\left[y_{0}^{2}+4\left(k_{1}+k_{2}\right) y_{0}+16 k_{1} k_{2}\right]}{k_{1} k_{2}} \\ & =\frac{400\left[y_{0}^{2}-y_{0}^{2}+16 k_{1} k_{2}\right]}{k_{1} k_{2}}=6400 \end{aligned} $$
所以，当 $P$ 在直线 $x=-4$ 上运动时，四点 $A, B, C, D$ 的纵坐标之积 6400 。
【考点定位】直线与曲线的位置关系