（本小题满分 13 分） 在直角坐标系 x o y 中，曲…——2012 高考数学第 21 题答案解析

（1）设曲线 $C_1$ 上任意一点 $M(x,y)$。
圆 $C_2$ 的圆心为 $(5,0)$，半径 $r=3$。
点 $M$ 到直线 $x=-2$ 的距离为 $d_1 = |x+2|$。
点 $M$ 到圆 $C_2$ 上点的距离的最小值为 $d_2 = \sqrt{(x-5)^2+y^2} - 3$（因为 $M$ 在圆外）。
由题意 $d_1 = d_2$，即：
$|x+2| = \sqrt{(x-5)^2+y^2} - 3$
移项得 $\sqrt{(x-5)^2+y^2} = |x+2| + 3$。
由于圆 $C_2$ 位于直线 $x=-2$ 右侧，且 $M$ 在圆外，结合几何图形可知 $x > -2$，故 $|x+2|=x+2$。
方程化为 $\sqrt{(x-5)^2+y^2} = x+5$。
两边平方得 $(x-5)^2+y^2 = (x+5)^2$，
展开得 $x^2-10x+25+y^2 = x^2+10x+25$，
化简得 $y^2 = 20x$。
故曲线 $C_1$ 的方程为 $y^2=20x$。

（2）设 $P(-4, y_0)$，其中 $y_0 \neq \pm 3$。
设过点 $P$ 的切线斜率为 $k$，则切线方程为 $y-y_0 = k(x+4)$，即 $kx - y + 4k + y_0 = 0$。
由直线与圆 $C_2$ 相切，圆心 $(5,0)$ 到直线的距离等于半径 3：
$\frac{|5k - 0 + 4k + y_0|}{\sqrt{k^2+1}} = 3$
$\frac{|9k + y_0|}{\sqrt{k^2+1}} = 3$
两边平方整理得：
$(9k+y_0)^2 = 9(k^2+1)$
$81k^2 + 18ky_0 + y_0^2 = 9k^2 + 9$
$72k^2 + 18y_0k + y_0^2 - 9 = 0$
设两条切线的斜率分别为 $k_1, k_2$，则 $k_1, k_2$ 是上述关于 $k$ 的一元二次方程的两个实根。
由韦达定理可得：
$k_1 + k_2 = -\frac{18y_0}{72} = -\frac{y_0}{4}$
$k_1 k_2 = \frac{y_0^2 - 9}{72}$

联立切线方程与抛物线方程 $y^2=20x$：
由 $y = k(x+4) + y_0$ 得 $x = \frac{y-y_0}{k} - 4$。
代入 $y^2=20x$：
$y^2 = 20(\frac{y-y_0}{k} - 4)$
$ky^2 = 20(y - y_0 - 4k)$
$ky^2 - 20y + 20(y_0 + 4k) = 0$
设切线 $l_1$（斜率 $k_1$）与抛物线交于 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$，则 $y_1, y_2$ 是方程 $k_1 y^2 - 20y + 20(y_0 + 4k_1) = 0$ 的两根。
由韦达定理：
$y_1 y_2 = \frac{20(y_0 + 4k_1)}{k_1}$
同理，设切线 $l_2$（斜率 $k_2$）与抛物线交于 $C(x_3, y_3), D(x_4, y_4)$，则：
$y_3 y_4 = \frac{20(y_0 + 4k_2)}{k_2}$

四点纵坐标之积为：
$Y = y_1 y_2 y_3 y_4 = \frac{400(y_0 + 4k_1)(y_0 + 4k_2)}{k_1 k_2}$
展开分子部分：
$(y_0 + 4k_1)(y_0 + 4k_2) = y_0^2 + 4y_0(k_1+k_2) + 16k_1 k_2$
将 $k_1+k_2 = -\frac{y_0}{4}$ 代入：
$= y_0^2 + 4y_0(-\frac{y_0}{4}) + 16k_1 k_2$
$= y_0^2 - y_0^2 + 16k_1 k_2$
$= 16k_1 k_2$

所以：
$Y = \frac{400 \cdot 16k_1 k_2}{k_1 k_2} = 400 \times 16 = 6400$
故四点 $A, B, C, D$ 的纵坐标之积为定值 6400。