2021_全国乙卷
19.设 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是首项为1的等比数列，数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 满足 $b _ { n } = { \frac { n a _ { n } } { 3 } }$ .已知 $a _ { 1 } , \ 3 a _ { 2 } , \ 9 a _ { 3 }$ ，成等差 数列.
（1）求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 和 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的通项公式；
（2）记 $S _ { n }$ ，和 $T _ { n }$ 分别为 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 和 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的前n项和.证明： $T _ { n } < { \frac { S _ { n } } { 2 } }$
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
答案：
见解析
解析：
设 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公比为 $q$ ，则 $a _ { n } = q ^ { n - 1 }$
因为 $a _ { 1 } , \ 3 a _ { 2 } , \ 9 a _ { 3 }$ 成等差数列，所以 $1 + 9 q ^ { 2 } = 2 \times 3 q$ ，解得 $q = \frac 1 3$
故 $a _ { n } = ( { \frac { 1 } { 3 } } ) ^ { n - 1 }$ $S _ { n } = { \frac { 1 - { \frac { 1 } { 3 ^ { n } } } } { 1 - { \frac { 1 } { 3 } } } } = { \frac { 3 } { 2 } } ( 1 - { \frac { 1 } { 3 ^ { n } } } )$
又 $b _ { n } = { \frac { n } { 3 ^ { n } } }$ ，则 $T _ { n } = { \frac { 1 } { 3 ^ { 1 } } } + { \frac { 2 } { 3 ^ { 2 } } } + { \frac { 3 } { 3 ^ { 3 } } } + \cdots + { \frac { n - 1 } { 3 ^ { n - 1 } } } + { \frac { n } { 3 ^ { n } } }$
两边同乘 $\frac 1 3$ ，则 ${ \frac { 1 } { 3 } } T _ { n } = { \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { 3 ^ { 3 } } } + { \frac { 3 } { 3 ^ { 4 } } } + \cdots + { \frac { n - 1 } { 3 ^ { n } } } + { \frac { n } { 3 ^ { n + 1 } } }$
两式相减，得 ${ \frac { 2 } { 3 } } T _ { n } = { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 3 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 4 } } } + \cdots + { \frac { 1 } { 3 ^ { n } } } - { \frac { n } { 3 ^ { n + 1 } } }$
$$ \frac { 2 } { 3 } T _ { n } = \frac { \displaystyle { \frac { 1 } { 3 } } ( 1 - \frac { 1 } { 3 ^ { n } } ) } { \displaystyle { 1 - \frac { 1 } { 3 } } } - \frac { n } { 3 ^ { n + 1 } } = \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \frac { 1 } { 3 ^ { n } } ) - \frac { n } { 3 ^ { n + 1 } } $$
整理得 $T _ { n } = \frac { 3 } { 4 } ( 1 - \frac { 1 } { 3 ^ { n } } ) - \frac { n } { 2 \times 3 ^ { n } } = \frac { 3 } { 4 } - \frac { 2 n + 3 } { 2 \times 3 ^ { n } }$
$$ 2 T _ { n } - S _ { n } = 2 ( \frac { 3 } { 4 } - \frac { 2 n + 3 } { 2 \times 3 ^ { n } } ) - \frac { 3 } { 2 } ( 1 - \frac { 1 } { 3 ^ { n } } ) = - \frac { 4 n + 3 } { 2 \times 3 ^ { n } } < 0 , $$
故 $T _ { n } < { \frac { S _ { n } } { 2 } }$