【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直
【专题】5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何
【分析】（1）D，E 分别为AC，AB的中点，易证 $\tt D E / /$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C B }$
> ②由题意可证 DE⊥平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } \mathsf { C }$ ，从而有 ${ \mathsf { D } } \mathsf { E } \bot \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F }$ ，又 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F } \bot \mathsf { C D }$ ，可证 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F } \bot$ 平面 BCDE，问题解决；
（3）取 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf C , \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B }$ 的中点 P，Q，则 $P Q / / B C$ ，平面 DEQ即为平面 DEP，由 $\tt D E \bot$ 平面，P 是等腰三角形 $\mathsf { D A } _ { 1 } \mathsf { C }$ 底边 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C }$ 的中点，可证 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } \bot$ 平面 DEP，从而 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C }$ ⊥平面 DEQ
【解答】解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，
$\therefore D E / / B C$ ，又 DE⊄平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C B }$
∴DE∥平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C B }$
> ②由已知得 $A C \bot B C$ 且 $\mathsf { D E / / B C }$
∴ $. \mathsf { D E \bot A C } ,$
∴ $. \mathsf { D E \bot A } _ { 1 } \mathsf { D }$ ，又 $\tt D E \bot C D$
$\therefore D E \bot$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D C }$ ，而 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F } \mathsf { C }$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } \mathsf { C }$
$\therefore D E \bot A _ { 1 } F$ ，又 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F } \bot \mathsf { C D }$
∴ $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F } .$ ⊥平面 BCDE，
$$
\cdot \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F } \bot \mathsf { B } \mathsf { E } .
$$
（3）线段 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B }$ 上存在点Q，使 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } \bot$ 平面DEQ．理由如下：如图，分别取 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C }$ $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B }$ 的中点P，Q，则 $P Q / / B C$
∵DE∥BC，
∴DE∥PQ
$\therefore$ 平面 DEQ 即为平面 DEP
由（Ⅱ）知 $\tt D E \bot$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } \mathsf { C }$
$$
\therefore D E \bot A _ { 1 } C ,
$$
又∵P 是等腰三角形 $\mathsf { D A } _ { 1 } \mathsf { C }$ 底边 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C }$ 的中点，
∴ $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } \bot \mathsf { D } \mathsf { P }$
∴ ${ \sf A } _ { 1 } { \sf C } \bot$ 平面 DEP，从而 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } \bot$ 平面 DEQ，
故线段 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B }$ 上存在点 Q，使 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } \bot$ 平面 DEQ
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题
