（12分）如图，四边形 A B C D 为菱形， A B…——2015 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LM：异面直线及其所成的角；$L Y$ ：平面与平面垂直．
【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5H：空间向量及应用．
【分析】（ I ）连接 BD ，设 $\mathrm{BD} \cap \mathrm{AC}=\mathrm{G}$ ，连接 $\mathrm{EG} , \mathrm{EF} , \mathrm{FG}$ ，运用线面垂直的判定定理得到 $\mathrm{EG} \perp$ 平面 AFC ，再由面面垂直的判定定理，即可得到；
（II）以 $G$ 为坐标原点，分别以 $G B, G C$ 为 $x$ 轴，$y$ 轴，$|G B|$ 为单位长度，建立空间直角坐标系 $\mathrm{G}-\mathrm{xyz}$ ，求得 $\mathrm{A}, \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{C}$ 的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值。

【解答】解：（ I ）连接BD，
设 $\mathrm{BD} \cap \mathrm{AC}=\mathrm{G}$ ，
连接 $E G$ 、 $E F$ 、 $F G$ ，
在菱形ABCD中，
不妨设 $\mathrm{BG}=1$ ，
由 $\angle A B C=120^{\circ}$ ，
可得 $\mathrm{AG}=\mathrm{GC}=\sqrt{3}$ ，
$\mathrm{BE} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2$ ，
可知 $A E=E C$ ，又 $A E \perp E C$ ，
所以 $\mathrm{EG}=\sqrt{3}$ ，且 $\mathrm{EG} \perp \mathrm{AC}$ ，
在直角 $\triangle \mathrm{EBG}$ 中，可得 $\mathrm{BE}=\sqrt{2}$ ，故 $\mathrm{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
在直角三角形 FDG 中，可得 $\mathrm{FG}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，
在直角梯形 BDFE 中，由 $\mathrm{BD}=2, \quad \mathrm{BE}=\sqrt{2}, \quad \mathrm{FD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，可得 $\mathrm{EF}=\sqrt{2^{2}+\left(\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

从而 $\mathrm{EG}^{2}+\mathrm{FG}^{2}=\mathrm{EF}^{2}$ ，则 $\mathrm{EG} \perp \mathrm{FG}$ ，
（或由 $\tan \angle \mathrm{EGB} \cdot \tan \angle \mathrm{FGD}=\frac{\mathrm{EB}}{\mathrm{BG}} \cdot \frac{\mathrm{FD}}{\mathrm{DG}}=\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1$ ，
可得 $\angle \mathrm{EGB}+\angle \mathrm{FGD}=90^{\circ}$ ，则 $\mathrm{EG} \perp \mathrm{FG}$ ）
$\mathrm{AC} \cap \mathrm{FG}=\mathrm{G}$ ，可得 $\mathrm{EG} \perp$ 平面 AFC ，
由 EGC 平面 AEC ，所以平面 $\mathrm{AEC} \perp$ 平面 AFC ；
（II）如图，以 G 为坐标原点，分别以 $\mathrm{GB}, \mathrm{GC}$ 为 x 轴， y 轴，$|\mathrm{GB}|$ 为单位长度，建立空间直角坐标系 $G-x y z$ ，由（ $I$ ）可得 $A(0,-\sqrt{3}, 0), E(1,0, \sqrt{2})$
$\mathrm{F}\left(-1,0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right), \mathrm{C}(0, \sqrt{3}, 0)$ ，
即有 $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=(1, \sqrt{3}, \sqrt{2}), \overrightarrow{\mathrm{CF}}=\left(-1,-\sqrt{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ，
故 $\cos <\overrightarrow{\mathrm{AE}}, \overrightarrow{\mathrm{CF}}>=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AE}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{CF}}|}=\frac{-1-3+1}{\sqrt{6} \times \sqrt{\frac{9}{2}}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
则有直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题。