2017_上海卷
20．（16 分）如图，光滑平行金属导轨间距为 L，与水平面夹 角为 θ，两导轨上端用阻值为 R 的电阻相连，该装置处于磁感 应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面。质量为 m 的金属杆 ab 以沿导轨平面向上的初速度v0 从导轨底端开始 运动，然后又返回到出发位置。在运动过程中，ab 与导轨垂直 且接触良好，不计 ab 和导轨的电阻及空气阻力。 （1）求 ab 开始运动时的加速度 a； （2）分析并说明 ab 在整个运动过程中速度、加速度的变化情况； （3）分析并比较 ab 上滑时间和下滑时间的长短。
(1) $a = g \sin \theta + \frac { B ^ { 2 } L ^ { 2 } \nu _ { 0 } } { m R }$; (2) 见解析; (3) 上滑所需时间小于下滑所需时间
【答案】（1） $a = g \sin \theta + \frac { B ^ { 2 } L ^ { 2 } \nu _ { 0 } } { m R }$ （2）见解析 （3）上滑所需时间小于下滑所需时间
【解析】（1）a、b开始运动时产生的感应电动势 $E = B L \nu _ { 0 }$
回路中的感应电流 $I = { \frac { E } { R } }$
杆所受安培力 $F _ { \mathrm { m } } = B I L = \frac { B ^ { 2 } L ^ { 2 } \nu _ { 0 } } { R }$
杆受力如图，
由牛顿定律： $m g \sin \theta + F _ { _ m } = m a$
解得： $a = g \sin \theta + \frac { B ^ { 2 } L ^ { 2 } \nu _ { 0 } } { m R }$
（2）分析如下：
杆上滑时，合力 $F = m g \sin \theta + F _ { m }$ ,与运动方向相反，杆减速，随着速度减小， $\mathrm { F _ { m } }$ 减小，合力减小，加速度减小，因此杆做加速度减小的减速运动，到达一定高度后速度为0。
$$ \sin \theta $$
杆下滑时，合力 $F = m g \sin \theta - F _ { m }$ ,与运动方向相同，杆加速，随着速度增大， $\mathrm { F _ { m } }$ 增大，合力减小，加速度减小，因此杆做初速度我0、加速度减小的加速运动。
（3）分析如下：
上滑与下滑过程经过的位移大小相等，而上滑时加速度大于 $g \sin \theta$ ，下滑时加速度小于$g \sin \theta$ ，因此，上升时的平均加速度大于下降时的平均加速度，由运动学公式可知，上滑
所需时间小于下滑所需时间。