（12分）已知 a, b, c 分别是 A B C 内角…——2015 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【专题】58：解三角形．
【分析】（I） $\sin ^{2} \mathrm{~B}=2 \sin \mathrm{~A} \sin \mathrm{C}$ ，由正弦定理可得： $\mathrm{b}^{2}=2 \mathrm{ac}$ ，再利用余弦定理即可得出。
（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出。
【解答】解：（I）$\because \sin ^{2} \mathrm{~B}=2 \sin \mathrm{~A} \sin \mathrm{C}$ ，
由正弦定理可得：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{1}{k}>0$ ，
代入可得（bk）${ }^{2}=2 a k \bullet c k$ ，
$\therefore \mathrm{b}^{2}=2 \mathrm{ac}$ ，
$\because \mathrm{a}=\mathrm{b}, \quad \therefore \mathrm{a}=2 \mathrm{c}$,
由余弦定理可得： $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{a^{2}+\frac{1}{4} a^{2}-a^{2}}{2 a \times \frac{1}{2} a}=\frac{1}{4}$ ．
（II）由（I）可得： $\mathrm{b}^{2}=2 \mathrm{ac}$ ，
$\because B=90^{\circ}$ ，且 $a=\sqrt{2}$ ，
$\therefore a^{2}+c^{2}=b^{2}=2 a c$ ，解得 $a=c=\sqrt{2}$ ．

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2}{ }_{\mathrm{ac}}=1$ ．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．