【答案】（1）不可以是 $R _ { 2 }$ 数列；理由见解析；② $a _ { 5 } = 1$ ；（3）存在； $p = 2$
【解析】
【分析】①由题意考查 $a _ { 3 }$ 的值即可说明数列不是 $R _ { 2 }$ 数列；
> ②由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定 $a _ { 5 }$ 的值；
(3)构造数列 $b _ { n } = a _ { n } + p$ ，易知数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 是 $R _ { 0 }$ 的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数P的值.
【详解】①由性质③结合题意可知 $0 = { a _ { 3 } } \in \left\{ { a _ { 1 } } + { a _ { 2 } } + 2 , { a _ { 1 } } + { a _ { 2 } } + 2 + 1 \right\} = \left\{ 2 , 3 \right\}$
矛盾，故前4项2,-2,0,1的数列，不可能是 $R _ { 2 }$ 数列.
(2)性质① $a _ { 1 } \geq 0 , a _ { 2 } = 0$
由性质③ $a _ { m + 2 } \in \left\{ a _ { m } , a _ { m } + 1 \right\}$ ，因此 $a _ { 3 } = a _ { 1 }$ 或 $a _ { 3 } = a _ { 1 } + 1$ $a _ { 4 } = 0$ 或 $a _ { 4 } = 1$
若 $a _ { \scriptscriptstyle 4 } = 0$ ，由性质②可知 $a _ { 3 } < a _ { 4 }$ ，即 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } < 0$ 或 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } + 1 < 0$ ，矛盾；
若 $a _ { 4 } = 1 , a _ { 3 } = a _ { 1 } + 1$ ，由 $a _ { 3 } < a _ { 4 }$ 有 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } + 1 < 1$ ，矛盾.
因此只能是 $a _ { 4 } = 1 , a _ { 3 } = a _ { 1 }$
又因为 $a _ { 4 } = a _ { 1 } + a _ { 3 }$ 或 $a _ { 4 } = a _ { 1 } + a _ { 3 } + 1$ ，所以 $a _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 }$ 或 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = 0$
若 $a _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 }$ ，则 $a _ { 2 } = a _ { 1 + 1 } \in \left\{ a _ { 1 } + a _ { 1 } + 0 , a _ { 1 } + a _ { 1 } + 0 + 1 \right\} = \left\{ 2 a _ { 1 } , 2 a _ { 1 } + 1 \right\} = \left\{ 1 , 2 \right\}$
不满足 $a _ { 2 } = 0$ ，舍去.
当 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = 0$ ，则 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 前四项为：0，0，0，1，
下面用纳法证明 $a _ { 4 n + i } = n ( i = 1 , 2 , 3 ) , a _ { 4 n + 4 } = n + 1 { \bigl ( } n \in N { \bigr ) }$
当n=0时，经验证命题成立，假设当 $n \leq k ( k \geq 0 )$ 时命题成立，
当n = k +1时：
若i=1，则 $a _ { 4 ( k + 1 ) + 1 } = a _ { 4 k + 5 } = a _ { j + ( 4 k + 5 - j ) }$ ，利用性质③：
$\{ { { a } _ { j } } + { { a } _ { 4 k + 5 - j } } | j \in N ^ { * } , 1 \le j \le 4 k + 4 \} = \{ k , { k + 1 } \}$ ，此时可得： $a _ { 4 k + 5 } = k + 1$
否则，若 $a _ { 4 k + 5 } = k$ ，取k=0可得： $a _ { 5 } = 0$
而由性质②可得： $a _ { 5 } = a _ { 1 } + a _ { 4 } \in \{ 1 , 2 \}$ ，与 $a _ { 5 } = 0$ 矛盾.
同理可得：
$$
\left\{ a _ { j } + a _ { 4 k + 6 - j } \vert j \in N ^ { ^ { \ast } } , 1 \leq j \leq 4 k + 5 \right\} = \left\{ k , k + 1 \right\} , \ \sharp \ a _ { 4 k + 6 } = k + 1 ,
$$
$\left\{ a _ { j } + a _ { 4 k + 8 - j } \vert j \in N ^ { \ast } , 2 \leq j \leq 4 k + 6 \right\} = \{ k + 1 , k + 2 \}$ ，有 $a _ { 4 k + 8 } = k + 2$
$\left\{ a _ { j } + a _ { 4 k + 7 - j } \vert j \in N ^ { \ast } , 1 \le j \le 4 k + 6 \right\} = \{ k + 1 \}$ ，又因为 $a _ { 4 k + 7 } < a _ { 4 k + 8 }$ ，有 $a _ { 4 k + 7 } = k + 1$
即当n=k+1时命题成立，证毕.
综上可得： $a _ { 1 } = 0 , a _ { 5 } = a _ { 4 \times 1 + 1 } = 1$
(3)令 $b _ { n } = a _ { n } + p$ ，由性质③可知：
$$
\begin{array} { r } { \forall m , n \in N ^ { * } , b _ { m + n } = a _ { m + n } + p \in \left\{ a _ { m } + p + a _ { n } + p , a _ { m } + p + a _ { n } + p + 1 \right\} = \left\{ b _ { m } + b _ { n } , b _ { m } + b _ { n } + 1 \right\} , } \end{array}
$$
由于 $b _ { 1 } = a _ { 1 } + p \geq 0 , b _ { 2 } = a _ { 2 } + p = 0 , b _ { 4 n - 1 } = a _ { 4 n - 1 } + p < a _ { 4 n } + p = b _ { 4 n }$
因此数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 为 $R _ { 0 }$ 数列.
由②可知：
若 $\forall n \in N , a _ { 4 n + i } = n - p ( i = 1 , 2 , 3 ) , a _ { 4 n + 4 } = n + 1 - p$
$$
S _ { 1 1 } - S _ { 1 0 } = a _ { 1 1 } = a _ { 4 \times 2 + 3 } = 2 - p \geq 0 , S _ { 9 } - S _ { 1 0 } = - a _ { 1 0 } = - a _ { 4 \times 2 + 2 } = - ( 2 - p ) \geq 0 ,
$$
因此 $p = 2$ ，此时 $a _ { 1 } , a _ { 2 } , . . . , a _ { 1 0 } \leq 0 , a _ { j } \geq 0 { \left( j \geq 1 1 \right) }$ ，满足题意.
【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.