设 a , b R，数列 a _ n 中， a _ 1 =…——2019 高考数学第 10 题答案解析

【答案】A

【解析】

【分析】

本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.

【详解】选项B：不动点满足 $x ^ { 2 } - x + { \frac { 1 } { 4 } } = \left( x - { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } = 0$ 时，如图，若 $a _ { 1 } = a \in \left( 0 , \frac { 1 } { 2 } \right) , \quad a _ { n } < \frac { 1 } { 2 }$

排除

如图，若a为不动点 $\frac { 1 } { 2 }$ 则 $a _ { n } = { \frac { 1 } { 2 } }$

选项C：不动点满足 $x ^ { 2 } - x - 2 = \left( x - { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } - { \frac { 9 } { 4 } } = 0$ ，不动点为 $\frac { \mathrm { a x } - 1 } { 2 }$ ，令 $a = 2$ ，则 $a _ { n } = 2 < 1 0$ 排除

选项D：不动点满足 $x ^ { 2 } - x - 4 = \left( x - { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 7 } { 4 } } = 0$ ，不动点为 $x = \frac { \sqrt { 1 7 } } { 2 } \pm \frac { 1 } { 2 }$ ，令 $a = \frac { \sqrt { 1 7 } } { 2 } \pm \frac { 1 } { 2 }$ ，则

$a _ { n } = { \frac { \sqrt { 1 7 } } { 2 } } \pm { \frac { 1 } { 2 } } < 1 0$ ，排除.

选项A：证明：当 $b = \frac { 1 } { 2 }$ 时， $a _ { 2 } = a _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \geq \frac { 1 } { 2 } , \quad a _ { 3 } = a _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \geq \frac { 3 } { 4 } , \quad a _ { 4 } = a _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \geq \frac { 1 7 } { 1 6 } \geq 1$

处理一：可依次迭代到 $a _ { 1 0 }$ ；

处理二：当 $n \geq 4$ 时， $a _ { n + 1 } = a _ { n } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \geq a _ { n } ^ { 2 } \geq 1$ ，则则

$a _ { n + 1 } \geq \left( { \frac { 1 7 } { 1 6 } } \right) ^ { 2 ^ { n - 1 } } ( n \geq 4 )$ ，则 $a _ { 1 0 } \geq \left( \frac { 1 7 } { 1 6 } \right) ^ { 2 ^ { 6 } } = \left( 1 + \frac { 1 } { 1 6 } \right) ^ { 6 4 } = 1 + \frac { 6 4 } { 1 6 } + \frac { 6 4 \times 6 3 } { 2 } \times \frac { 1 } { 1 6 ^ { 2 } } + . . . . . . . > 1 + 4 + 7 > 1 0$

【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.

非选择题部分（共 110 分）